If Laplaces equation is satisfied in three dimensions, show that
for any closed surface. (Hint: Use the divergence theorem.) Give a physical interpretation of this result (in the context of heat flow).
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
que satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, isto é,
e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada
, vale
O conteúdo-chave aqui é o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície ao divergente desse campo no volume interior.
Passo 2
Aplicamos o teorema da divergência ao campo vetorial
. Primeiro notamos que
em todo o volume
cuja fronteira é
. Então
Passo 3
Interpretação física (fluxo de calor em regime estacionário):
-
é a temperatura; -
é o gradiente de temperatura; - pela lei de Fourier, o fluxo de calor é proporcional a
.
O resultado
significa que, num regime estacionário sem fontes nem sumidouros de calor internos, o calor que entra no volume é exatamente igual ao calor que sai — não há acúmulo nem déficit de calor dentro de
.
Resposta
Fisicamente, em estado estacionário e sem fontes internas, o fluxo total de calor através de qualquer superfície fechada é nulo.