If Laplaces equation is satisfied in three dimensions, show that
oiint nabla u cdot n d S=0
for any closed surface. (Hint: Use the divergence theorem.) Give a physical interpretation of this result (in the context of heat flow).

Passo 1

O enunciado nos dá uma função u(x,y,z) que satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, isto é,
nabla^2 u = 0
e pede para mostrar que, para qualquer superfície fechada S, vale
ointS nabla u cdot n,dS = 0
O conteúdo-chave aqui é o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial pela superfície ao divergente desse campo no volume interior.

Passo 2

Aplicamos o teorema da divergência ao campo vetorial nabla u. Primeiro notamos que
nablacdot(nabla u)=nabla^2 u=0
em todo o volume V cuja fronteira é S. Então
ointS nabla u cdot n,dS = integralV nablacdot(nabla u),dV = integralV 0,dV = 0

Passo 3

Interpretação física (fluxo de calor em regime estacionário):
  • u é a temperatura;
  • nabla u é o gradiente de temperatura;
  • pela lei de Fourier, o fluxo de calor é proporcional a -nabla u.
O resultado
ointS nabla u cdot n,dS=0
significa que, num regime estacionário sem fontes nem sumidouros de calor internos, o calor que entra no volume é exatamente igual ao calor que sai — não há acúmulo nem déficit de calor dentro de V.

Resposta

ointS nabla u cdot n,dS = 0
Fisicamente, em estado estacionário e sem fontes internas, o fluxo total de calor através de qualquer superfície fechada é nulo.

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