Assume that the temperature is spherically symmetric, u=u(r, t), where r is the distance from a fixed point ( r^2=x^2+y^2+z^2). Consider the heat flow (without sources) between any two concentric spheres of radii a and b
Show that the total heat energy is 4 pi integrala^b c rho u r^2 d r.

Passo 1

O enunciado trata de calor em um meio homogêneo com densidade de massa rho e calor específico c, cuja temperatura é esfericamente simétrica, ou seja, u=u(r,t) com r^2=x^2+y^2+z^2. Queremos calcular a energia térmica total contida no casquete esférico definido por a<= r<= b. Para isso, usaremos a definição de energia interna distribuída e a expressão do elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em termos de densidade volumétrica de energia térmica, cada elemento de volume dV armazena
dE = c,rho,u(r,t),dV
Logo, a energia total E no domínio a<= r<= b é
E = integralcasquete c,rho,u(r,t),dV

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
dV = r^2sintheta,dtheta,dphi,dr,
onde thetain[0,pi] e phiin[0,2pi]. Substituindo em E, temos
E = c,rho integralr=a^r=bintegraltheta=0^piintegralphi=0^2pi u(r,t),r^2sintheta,dphi,dtheta,dr

Passo 4

Como u não depende de theta nem de phi, podemos separar a integral angular:
integraltheta=0^piintegralphi=0^2pisintheta,dphi,dtheta = l(integral0^2pidphir)l(integral0^pisintheta,dthetar) = 2pi cdot 2 = 4pi
Assim,
E = c,rho integrala^b u(r,t),r^2 ,l[underbrace4piangularr],dr = 4pi,c,rho integrala^bu(r,t),r^2,dr

Resposta

A energia térmica total contida no casquete esférico de raios a e b é
4pi integrala^b c,rho,u(r,t),r^2,dr

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