Assume that the temperature is spherically symmetric, , where is the distance from a fixed point (). Consider the heat flow (without sources) between any two concentric spheres of radii and
Show that the total heat energy is .
Passo 1
O enunciado trata de calor em um meio homogêneo com densidade de massa e calor específico , cuja temperatura é esfericamente simétrica, ou seja, com . Queremos calcular a energia térmica total contida no casquete esférico definido por . Para isso, usaremos a definição de energia interna distribuída e a expressão do elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em termos de densidade volumétrica de energia térmica, cada elemento de volume armazena
Logo, a energia total no domínio é
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
onde e . Substituindo em , temos
Passo 4
Como não depende de nem de , podemos separar a integral angular:
Assim,
Resposta
A energia térmica total contida no casquete esférico de raios a e b é