Assume that the temperature is circularly symmetric: u=u(r, t), where r^2=x^2+y^2. We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus a <= r <= b.
Show that the How of heat energy per unit time out of the annulus at r=b is -2 pi b K0 partial u /partial r|r=b. A similar result holds at r=a.

Passo 1

O enunciado diz que temos condução de calor num meio bidimensional com simetria circular, de modo que a temperatura é u=u(r,t). Queremos calcular o fluxo de energia térmica por unidade de tempo que sai de um anel circular a<= r<= b através da fronteira externa r=b. Para isso vamos usar a lei de Fourier e integração sobre a circunferência de raio b.

Passo 2

A lei de Fourier em coordenadas gerais diz que o vetor fluxo de calor é
q = -K0,nabla u
Como u depende só de r, em coordenadas polares
nabla u = partial upartial r,er,
então
q = -K0,partial upartial r,er

Passo 3

O fluxo de calor que sai pela borda r=b é a integral de qcdotn sobre a curva r=b. Aqui o vetor normal exterior n coincide com er e o elemento de comprimento é dS=b,dtheta. Assim
Phib = integral0^2piqcdotn;dS = integral0^2pil(-K0,partial upartial rr),b,dtheta = -K0,b;partial upartial rg|r=bintegral0^2pidtheta = -2pi,b,K0,partial upartial rg|r=b

Resposta

O fluxo de calor por unidade de tempo que sai do anel na fronteira r=b é
-2pi,b,K0,partial upartial rl|r=b
Um raciocínio análogo vale para r=a.

Exercícios relacionados