Assume that the temperature is circularly symmetric: , where . We will derive the heat equation for this problem. Consider any circular annulus .
Show that the How of heat energy per unit time out of the annulus at is . A similar result holds at .
Passo 1
O enunciado diz que temos condução de calor num meio bidimensional com simetria circular, de modo que a temperatura é . Queremos calcular o fluxo de energia térmica por unidade de tempo que sai de um anel circular através da fronteira externa . Para isso vamos usar a lei de Fourier e integração sobre a circunferência de raio .
Passo 2
A lei de Fourier em coordenadas gerais diz que o vetor fluxo de calor é
Como depende só de , em coordenadas polares
então
Passo 3
O fluxo de calor que sai pela borda é a integral de sobre a curva . Aqui o vetor normal exterior coincide com e o elemento de comprimento é . Assim
Resposta
O fluxo de calor por unidade de tempo que sai do anel na fronteira r=b é