Assume that the temperature is spherically symmetric, u=u(r, t), where r is the distance from a fixed point ( r^2=x^2+y^2+z^2). Consider the heat flow (without sources) between any two concentric spheres of radii a and b
Use parts (a) and (b) to derive the spherically symmetric heat equati
partial upartial t=kr^2 partialpartial r(r^2 partial upartial r)

Passo 1

O enunciado pede que a gente derive, a partir da conservação de energia e da lei de Fourier, a equação de calor em coordenadas esféricas assumindo simetria esférica u=u(r,t). Vamos usar:
  1. Energia térmica em uma casca esférica entre raios a e b.
  2. Lei de Fourier para o fluxo de calor radial.

Passo 2

A energia térmica contida entre as esferas de raio a e b é
E(t);=;integrala^brho,c,u(r,t);4pi r^2,dr
onde rho é a densidade e c o calor específico do material.

Passo 3

A variação dessa energia no tempo é
dEdt ;=; integrala^brho,c;partial upartial t(r,t);4pi r^2,dr

Passo 4

Segundo a lei de Fourier, o fluxo de calor por unidade de área na direção radial é
q(r,t) ;=; -,kcond;partial upartial r(r,t),
onde kcond é a condutividade térmica. A taxa de energia que atravessa a superfície esférica de raio r é
Q(r,t) ;=; q(r,t)cdot 4pi r^2 ;=; -,4pi,kcond,r^2,partial upartial r(r,t)
Pela conservação de energia, a perda interna de energia é igual ao fluxo saindo na superfície de raio b menos o fluxo entrando na superfície de raio a:
dEdt = Q(a,t);-;Q(b,t) = 4pi,kcondl[a^2partial upartial r(a,t);-;b^2partial upartial r(b,t)r]

Passo 5

Igualando as expressões de tfracdEdt e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para que a igualdade valha para todo a e b, obtemos o integrando igual a derivada em r:
rho,c;partial upartial t;4pi r^2 ;=; 4pi,kcond;partialpartial rl(r^2partial upartial rr)
Dividindo ambos os lados por 4pi,rho,c,r^2 e definindo a difusividade térmica k = tfrackcondrho,c, chegamos à forma final
partial upartial t = kr^2 partialpartial r!l(r^2,partial upartial rr)

Resposta

boxed partial upartial t = kr^2 partialpartial rl(r^2,partial upartial rr)

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