Assume that the temperature is spherically symmetric,
, where
is the distance from a fixed point (
). Consider the heat flow (without sources) between any two concentric spheres of radii
and
Use parts (a) and (b) to derive the spherically symmetric heat equati
Use parts (a) and (b) to derive the spherically symmetric heat equati
Passo 1
O enunciado pede que a gente derive, a partir da conservação de energia e da lei de Fourier, a equação de calor em coordenadas esféricas assumindo simetria esférica
. Vamos usar:
- Energia térmica em uma casca esférica entre raios
e . - Lei de Fourier para o fluxo de calor radial.
Passo 2
A energia térmica contida entre as esferas de raio
e
é
onde
é a densidade e
o calor específico do material.
Passo 3
A variação dessa energia no tempo é
Passo 4
Segundo a lei de Fourier, o fluxo de calor por unidade de área na direção radial é
onde
é a condutividade térmica. A taxa de energia que atravessa a superfície esférica de raio
é
Pela conservação de energia, a perda interna de energia é igual ao fluxo saindo na superfície de raio
menos o fluxo entrando na superfície de raio
:
Passo 5
Igualando as expressões de
e usando o Teorema Fundamental do Cálculo para que a igualdade valha para todo
e
, obtemos o integrando igual a derivada em
:
Dividindo ambos os lados por
e definindo a difusividade térmica
, chegamos à forma final