Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
[x cos (x)] y^prime+[cos (x)+x sen(x)] y=-5 x, com x cos (x) neq 0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
[xcos(x)],y'+[cos(x)+xsin(x)],y=-5x,
assumindo xcos(x)neq0. O conteúdo é resolução de uma EDO linear pelo método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão y'+P(x)y=Q(x) dividindo tudo por xcos(x):
y'+cos(x)+xsin(x)xcos(x),y=-5xxcos(x) Longrightarrow y'+l(tfrac1x+tan(x)r)y=-5cos(x)

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(!integrall(tfrac1x+tan xr),dxr) =expl(ln|x|-ln|cos x|r) =xcos x

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(x) obtemos
xcos x,y' +xcos xl(tfrac1x+tan xr)y =ddxl(xcos x,yr) =-5,xcos^2 x

Passo 5

Integramos em ambos os lados:
integral dl(xcos x,yr) =integral -5xsec^2 x,dx
Para calcular integral -5xsec^2 x,dx usamos integração por partes com u=x, dv=-5sec^2 x,dx:
integral -5xsec^2 x,dx =-5xtan x+5integraltan x,dx =-5xtan x-5lnl|cos xr|+C

Passo 6

Logo
xcos x,y =-5xtan x-5lnl|cos xr|+C,
de onde
y=cos xxl(-5xtan x-5ln|cos x|+Cr) =-5sin x-5cos x,ln|cos x|x +K,cos xx,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

boxedy(x)=-5sin x-5cos x,ln|cos x|x +K,cos xx, KinR

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