One mole of ideal gas at 25^{\circ} \mathrm{C} is held in a cylinder by a piston at a pressure of 10^{7} \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{-2}. The piston pressure is released in three stages, first to 5 \times 10^{6}, then to 10^{6}, then to 10^{5} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{-2}. Calculate the work done by the gas during these irreversible isothermal expansions, and compare the total work with that done in an isothermal reversible expansion from 10^{7} to 10^{5} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{-2} at 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá um mol de gás ideal a 25^\circ\mathrm{C} mantido inicialmente sob pressão P_{i0}=10^{7}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}. A pressão do pistão é então liberada em três etapas isotermais irreversíveis, ficando successivamente em:
  • primeiro estágio: P_{f1}=5\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2},
  • segundo estágio: P_{f2}=10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2},
  • terceiro estágio: P_{f3}=10^{5}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}.
Todas as expansões são isotermais a 25^\circ\mathrm{C}. O enunciado pede:
  1. Calcular o trabalho realizado pelo gás em cada uma das três expansões irreversíveis e o trabalho total nas três etapas.
  2. Comparar esse trabalho total com o trabalho realizado numa expansão isoterma reversível direta de 10^{7} para 10^{5}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2} à mesma temperatura.
Informações numéricas úteis (pegas do enunciado):
  • n=1 mol,
  • T=25^\circ\mathrm{C}=298,15\\ \mathrm{K},
  • R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}},
  • pressões como dadas acima.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Lei dos gases ideais: PV=nRT. Aqui P é a pressão do gás, V o volume ocupado, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Para uma temperatura fixa (isotérmica), se a pressão muda, o volume ajusta-se pela relação \,V=\dfrac{nRT}{P}.
  • Trabalho para expansão contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}: o trabalho efetuado pelo gás é o produto da pressão externa pela variação de volume: W = P_{\text{ext}}\,(V_f-V_i). (Aqui estamos tomando o trabalho feito pelo gás como positivo.)
  • Para uma expansão irreversível em que a pressão do pistão é súbita e fixa em P_{\text{ext}}=P_f (a nova pressão do pistão), o gás expande até que sua pressão interna caia até P_f. Então V_f=nRT/P_f e V_i=nRT/P_i, logo:
W_{\text{irrev, etapa}} = P_f\left(\frac{nRT}{P_f}-\frac{nRT}{P_i}\right) = nRT\left(1-\frac{P_f}{P_i}\right).
Essa fórmula é muito conveniente: basta conhecer nRT e as duas pressões inicial e final da etapa.
  • Trabalho isoterma reversível: neste caso a pressão do gás ajusta-se infinitesimalmente à pressão externa e
W_{\text{rev}}=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Usando PV= constante, \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{P_i}{P_f}, então para uma expansão de P_i para P_f temos
W_{\text{rev}}=nRT\ln\!\left(\frac{P_i}{P_f}\right).

Passo 3

Calcular nRT (vamos calcular numericamente para depois multiplicar nas fórmulas). Usando n=1, R=8,314 e T=298,15:
nRT = 1\cdot 8,314\cdot 298,15 \approx 2478,82\\ \mathrm{J}.
Comentário rápido: este valor é a energia térmica multiplicada por constantes; é a escala natural de trabalho para 1 mol a essa temperatura.

Passo 4

Primeira etapa (de P_{i0}=10^{7} para P_{f1}=5\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}).
Usando a fórmula da etapa irreversível:
W_1 = nRT\left(1-\frac{P_{f1}}{P_{i0}}\right) = nRT\left(1-\frac{5\times10^{6}}{10^{7}}\right) = nRT(1-0,5)=0,5\,nRT.
Substituindo nRT:
W_1 \approx 0,5\times2478,82 \approx 1239,41\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Segunda etapa (de P_{i1}=5\times10^{6} para P_{f2}=10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}):
W_2 = nRT\left(1-\frac{P_{f2}}{P_{i1}}\right) = nRT\left(1-\frac{10^{6}}{5\times10^{6}}\right) = nRT(1-0,2)=0,8\,nRT.
Substituindo:
W_2 \approx 0,8\times2478,82 \approx 1983,06\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Terceira etapa (de P_{i2}=10^{6} para P_{f3}=10^{5}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^{-2}):
W_3 = nRT\left(1-\frac{P_{f3}}{P_{i2}}\right) = nRT\left(1-\frac{10^{5}}{10^{6}}\right) = nRT(1-0,1)=0,9\,nRT.
Substituindo:
W_3 \approx 0,9\times2478,82 \approx 2230,94\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Trabalhos parciais somados — trabalho total nas três expansões irreversíveis:
W_{\text{irrev, total}} = W_1+W_2+W_3 \approx 1239,41 + 1983,06 + 2230,94 \approx 5453,40\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Trabalho para a expansão isoterma reversível direta de P_i=10^{7} para P_f=10^{5}:
W_{\text{rev}} = nRT\ln\!\left(\frac{P_i}{P_f}\right) = nRT\ln\!\left(\frac{10^{7}}{10^{5}}\right) = nRT\ln(100).
Como \ln(100)=\ln(10^2)=2\ln(10)\approx 4,605170, temos
W_{\text{rev}} \approx 2478,82\times 4,605170 \approx 11414,13\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Interpretação e comparação (intuição física, sem jargão chato):
  • O trabalho obtido no processo reversível é maior: W_{\text{rev}}\approx 11414\\ \mathrm{J} enquanto o total nas três etapas irreversíveis é cerca de 5453\\ \mathrm{J}. Ou seja, o reversível rende mais trabalho (neste caso aproximadamente o dobro).
  • Por que isso? Porque processos reversíveis extraem o máximo de trabalho possível ao manter a pressão exterior praticamente igual à pressão interna durante toda a expansão. Quando se usa etapas finitas (como aqui), parte do “potencial” de trabalho é perdido — na linguagem física isso é dissipado devido à irreversibilidade (há sempre uma diferença de pressão durante a expansão que reduz o trabalho extraído). Se as etapas forem feitas cada vez mais finas (muitas pequenas quedas de pressão), o trabalho obtido tende para o valor reversível.

Resposta

W_1 \approx 1239,41\\ \mathrm{J}
W_2 \approx 1983,06\\ \mathrm{J}
W_3 \approx 2230,94\\ \mathrm{J}
W_{\text{irrev, total}} \approx 5453,40\\ \mathrm{J}
W_{\text{rev}} \approx 11414,13\\ \mathrm{J}

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