One mole of ideal gas at
is held in a cylinder by a piston at a pressure of
. The piston pressure is released in three stages, first to
, then to
, then to
. Calculate the work done by the gas during these irreversible isothermal expansions, and compare the total work with that done in an isothermal reversible expansion from
to
at
.
Passo 1
O enunciado dá um mol de gás ideal a
mantido inicialmente sob pressão
. A pressão do pistão é então liberada em três etapas isotermais irreversíveis, ficando successivamente em:
- primeiro estágio:
, - segundo estágio:
, - terceiro estágio:
.
Todas as expansões são isotermais a
. O enunciado pede:
- Calcular o trabalho realizado pelo gás em cada uma das três expansões irreversíveis e o trabalho total nas três etapas.
- Comparar esse trabalho total com o trabalho realizado numa expansão isoterma reversível direta de
para à mesma temperatura.
Informações numéricas úteis (pegas do enunciado):
-
mol, -
, -
, - pressões como dadas acima.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
- Lei dos gases ideais:
Aqui é a pressão do gás, o volume ocupado, o número de mols, a constante dos gases e a temperatura absoluta. Para uma temperatura fixa (isotérmica), se a pressão muda, o volume ajusta-se pela relação . - Trabalho para expansão contra uma pressão externa constante
: o trabalho efetuado pelo gás é o produto da pressão externa pela variação de volume: (Aqui estamos tomando o trabalho feito pelo gás como positivo.) - Para uma expansão irreversível em que a pressão do pistão é súbita e fixa em
(a nova pressão do pistão), o gás expande até que sua pressão interna caia até . Então e , logo:
Essa fórmula é muito conveniente: basta conhecer
e as duas pressões inicial e final da etapa.
- Trabalho isoterma reversível: neste caso a pressão do gás ajusta-se infinitesimalmente à pressão externa e
Usando
constante,
, então para uma expansão de
para
temos
Passo 3
Calcular
(vamos calcular numericamente para depois multiplicar nas fórmulas). Usando
,
e
:
Comentário rápido: este valor é a energia térmica multiplicada por constantes; é a escala natural de trabalho para 1 mol a essa temperatura.
Passo 4
Primeira etapa (de
para
).
Usando a fórmula da etapa irreversível:
Usando a fórmula da etapa irreversível:
Substituindo
:
Passo 5
Segunda etapa (de
para
):
Substituindo:
Passo 6
Terceira etapa (de
para
):
Substituindo:
Passo 7
Trabalhos parciais somados — trabalho total nas três expansões irreversíveis:
Passo 8
Trabalho para a expansão isoterma reversível direta de
para
:
Como
, temos
Passo 9
Interpretação e comparação (intuição física, sem jargão chato):
- O trabalho obtido no processo reversível é maior:
enquanto o total nas três etapas irreversíveis é cerca de . Ou seja, o reversível rende mais trabalho (neste caso aproximadamente o dobro). - Por que isso? Porque processos reversíveis extraem o máximo de trabalho possível ao manter a pressão exterior praticamente igual à pressão interna durante toda a expansão. Quando se usa etapas finitas (como aqui), parte do “potencial” de trabalho é perdido — na linguagem física isso é dissipado devido à irreversibilidade (há sempre uma diferença de pressão durante a expansão que reduz o trabalho extraído). Se as etapas forem feitas cada vez mais finas (muitas pequenas quedas de pressão), o trabalho obtido tende para o valor reversível.