Assumindo que próximo à superficie da terra a aceleração de um corpo em queda livre é constante igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, deduza uma fórmula para a função que descreve sua posição em função da velocidade inicial v_{0} e da posição inicial s_{0}.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento em queda livre próximo à superfície da Terra, no qual a aceleração é constante e vale 10\\ \mathrm{m/s^2}. Precisamos deduzir a função da posição s(t) em termos da velocidade inicial v_0 e da posição inicial s_0. Usaremos as equações da cinemática para movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial que relaciona a posição à aceleração constante:
s''(t) = 10.

Passo 3

Integramos uma vez para obter a velocidade v(t)=s'(t):
s'(t)=\int 10\,\mathrm{d}t = 10t + C_{1}.
Como em t=0 a velocidade é v(0)=v_{0}, temos
C_{1}=v_{0}
e portanto
s'(t)=v_{0}+10t.

Passo 4

Integramos novamente para achar a posição s(t):
s(t)=\int (v_{0}+10t)\,\mathrm{d}t = v_{0}t + 5t^{2} + C_{2}.
Como em t=0 vale s(0)=s_{0}, segue que
C_{2}=s_{0}
e então
s(t)=s_{0}+v_{0}t+5t^{2}.

Resposta

s(t)=s_{0}+v_{0}t+5t^{2}.

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