Determine o deslocamento vertical da articulação E. Para cada elemento A=400 \mathrm{~mm}^{2}, E=200 \mathrm{GPa}. Use o método do trabalho virtual.
Passo 1
O enunciado dá um treliça planar bi-articulada com seis nós (A, B, C no “pé” e F, E, D no topo), nove barras de área \,A=400\text{ mm}^2=400\times10^{-6}\text{ m}^2 e módulo de Young E=200\text{ GPa}=200\times10^9\text{ Pa}. Há uma carga vertical de 45\text{ kN} em B e apoios verticais em A (pino) e C (rolete). Pede-se o deslocamento vertical de E por trabalho virtual, ou seja
onde N_i são as forças axiais reais e n_i^* as forças axiais geradas por um “load case” virtual unitário (1 N) aplicado para baixo em E.
Passo 2
Calcular as reações e forças axiais reais. 1. Reações verticais: \displaystyle R_A+R_C=45, \displaystyle 4\,R_C-2\cdot45=0 \implies R_C=22{,}5\text{ kN},\;R_A=22{,}5\text{ kN.} 2. No nó B (força para baixo de 45 kN, barras AB e BC horizontais, BE vertical e BD diagonal):
– Equilíbrio vertical: N_{BE}+0{,}6\,N_{BD}=45.
– Equilíbrio horizontal: -N_{AB}+N_{BC}+0{,}8\,N_{BD}=0.
Pelos apoios não há reação horizontal, daí N_{AB}=N_{BC}=0 e N_{BD}=0;;então N_{BE}=45\text{ kN} (tração). 3. No nó E (sem carga externa): barras BE, EA, FE, ED;
– \sum F_y: -45 -0{,}6\,N_{EA}=0\implies N_{EA}=-75\text{ kN} (compressão).
– \sum F_x: -0{,}8\,N_{EA}-N_{FE}+N_{ED}=0. 4. No nó F: apenas FE e AF, sem externe, leva a N_{FE}=0.
Logo em E N_{ED}=0{,}8\cdot(-75)=-60\text{ kN} (compressão). 5. No nó D: barras ED, DB, CD;
– \sum F_x:-N_{ED}-0{,}8\,N_{DB}=0\implies N_{DB}=75\text{ kN} (tração).
– \sum F_y:-0{,}6\,N_{DB}-N_{CD}=0\implies N_{CD}=-45\text{ kN} (compressão).
Todas as demais barras têm N=0 no caso real.
Passo 3
Calcular as forças axiais virtuais n_i^* obtidas aplicando 1 N para baixo em E (apoios fixos em A e C verticalmente). Pelos mesmos nós: 1. Reações virtuais R_A^*=R_C^*=0{,}5\text{ N.} 2. Nó E (1 N para baixo): \sum F_y:-n_{BE}^*-0{,}6\,n_{EA}^*-1=0,\quad\sum F_x:-0{,}8\,n_{EA}^*-n_{FE}^*+n_{ED}^*=0. 3. Nó A (reação +0{,}5\text{ N} para cima, barras AE, AB, AF) e nó F dão n_{FE}^*=n_{AF}^*=0 e
Então em E \,-n_{BE}^*-0{,}6(-0{,}83333)-1=0\implies n_{BE}^*=-0{,}5\text{ N}, e da horizontal -0{,}8(-0{,}83333)+n_{ED}^*=0\implies n_{ED}^*=-0{,}66667\text{ N}. 4. Nó D (ED, DB, CD): -n_{ED}^*-0{,}8\,n_{DB}^*=0\implies n_{DB}^*=+0{,}83333\text{ N}, -0{,}6\,n_{DB}^*-n_{CD}^*=0\implies n_{CD}^*=-0{,}5\text{ N}.
Passo 4
Só as barras não nulas entram no somatório da deformação:
EA, BE, ED, BD, CD.