Determine o deslocamento vertical da articulação E. Para cada elemento A=400 \mathrm{~mm}^{2}, E=200 \mathrm{GPa}. Use o método do trabalho virtual.

Passo 1

O enunciado dá um treliça planar bi-articulada com seis nós (A, B, C no “pé” e F, E, D no topo), nove barras de área \,A=400\text{ mm}^2=400\times10^{-6}\text{ m}^2 e módulo de Young E=200\text{ GPa}=200\times10^9\text{ Pa}. Há uma carga vertical de 45\text{ kN} em B e apoios verticais em A (pino) e C (rolete). Pede-se o deslocamento vertical de E por trabalho virtual, ou seja
\delta_E \;=\;\sum_{i=1}^9\frac{N_i\,n_i^*\,L_i}{A\,E}
onde N_i são as forças axiais reais e n_i^* as forças axiais geradas por um “load case” virtual unitário ( 1 N) aplicado para baixo em E.

Passo 2

Calcular as reações e forças axiais reais.
1. Reações verticais:
\displaystyle R_A+R_C=45, \displaystyle 4\,R_C-2\cdot45=0 \implies R_C=22{,}5\text{ kN},\;R_A=22{,}5\text{ kN.}
2. No nó B (força para baixo de 45 kN, barras AB e BC horizontais, BE vertical e BD diagonal):
– Equilíbrio vertical: N_{BE}+0{,}6\,N_{BD}=45.
– Equilíbrio horizontal: -N_{AB}+N_{BC}+0{,}8\,N_{BD}=0.
Pelos apoios não há reação horizontal, daí N_{AB}=N_{BC}=0 e N_{BD}=0;;então N_{BE}=45\text{ kN} (tração).
3. No nó E (sem carga externa): barras BE, EA, FE, ED;
\sum F_y: -45 -0{,}6\,N_{EA}=0\implies N_{EA}=-75\text{ kN} (compressão).
\sum F_x: -0{,}8\,N_{EA}-N_{FE}+N_{ED}=0.
4. No nó F: apenas FE e AF, sem externe, leva a N_{FE}=0.
Logo em E N_{ED}=0{,}8\cdot(-75)=-60\text{ kN} (compressão).
5. No nó D: barras ED, DB, CD;
\sum F_x:-N_{ED}-0{,}8\,N_{DB}=0\implies N_{DB}=75\text{ kN} (tração).
\sum F_y:-0{,}6\,N_{DB}-N_{CD}=0\implies N_{CD}=-45\text{ kN} (compressão).
Todas as demais barras têm N=0 no caso real.

Passo 3

Calcular as forças axiais virtuais n_i^* obtidas aplicando 1 N para baixo em E (apoios fixos em A e C verticalmente). Pelos mesmos nós:
1. Reações virtuais R_A^*=R_C^*=0{,}5\text{ N.} 2. Nó E ( 1 N para baixo):
\sum F_y:-n_{BE}^*-0{,}6\,n_{EA}^*-1=0,\quad\sum F_x:-0{,}8\,n_{EA}^*-n_{FE}^*+n_{ED}^*=0. 3. Nó A (reação +0{,}5\text{ N} para cima, barras AE, AB, AF) e nó F dão n_{FE}^*=n_{AF}^*=0 e
0{,}6\,n_{EA}^*+0{,}5=0\;\implies\;n_{EA}^*=-\frac{0,5}{0,6}=-0{,}83333\text{ N}.
Então em E \,-n_{BE}^*-0{,}6(-0{,}83333)-1=0\implies n_{BE}^*=-0{,}5\text{ N}, e da horizontal
-0{,}8(-0{,}83333)+n_{ED}^*=0\implies n_{ED}^*=-0{,}66667\text{ N}. 4. Nó D (ED, DB, CD):
-n_{ED}^*-0{,}8\,n_{DB}^*=0\implies n_{DB}^*=+0{,}83333\text{ N}, -0{,}6\,n_{DB}^*-n_{CD}^*=0\implies n_{CD}^*=-0{,}5\text{ N}.

Passo 4

Só as barras não nulas entram no somatório da deformação:
EA, BE, ED, BD, CD.
\delta_E =\sum\frac{N_i\,n_i^*\,L_i}{A\,E} =\frac{1}{(400\times10^{-6})(200\times10^9)} \Bigl[ \underbrace{(-75\times10^3)(-0{,}8333)\cdot2{,}5}_{156{,}25\times10^3} + \underbrace{(45\times10^3)(-0{,}5)\cdot1{,}5}_{-33{,}75\times10^3}
\quad+ \underbrace{(-60\times10^3)(-0{,}6667)\cdot2}_{80\times10^3} + \underbrace{(75\times10^3)(0{,}8333)\cdot2{,}5}_{156{,}25\times10^3} + \underbrace{(-45\times10^3)(-0{,}5)\cdot1{,}5}_{33{,}75\times10^3} \Bigr]
=\frac{392{,}5\times10^3}{80\times10^6}\;\text{m} =4{,}90625\times10^{-3}\,\text{m} \approx4{,}91\,\text{mm}.

Resposta

O deslocamento vertical da articulação E sob a carga de 45 kN é aproximadamente
\boxed{\delta_E \approx 4{,}9\text{ mm (para baixo).}}

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