Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(5 e^{7 t}+e^{-t}+\cos 7 t\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(5e^{7t} + e^{-t} + \cos 7t\bigr)\,dt.
O conteúdo envolvido é a integração de soma de funções exponenciais e trigonométrica, usando linearidade e as fórmulas básicas
\displaystyle \int e^{kt}\,dt = \frac{1}{k}e^{kt} e \displaystyle \int \cos(kt)\,dt = \frac{1}{k}\sin(kt).

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar em três integrais:
\int\bigl(5e^{7t} + e^{-t} + \cos 7t\bigr)\,dt = \int 5e^{7t}\,dt \;+\; \int e^{-t}\,dt \;+\; \int \cos(7t)\,dt.

Passo 3

Para \displaystyle \int 5e^{7t}\,dt, fatoramos o 5 e aplicamos \int e^{7t}\,dt = \tfrac{1}{7}e^{7t}:
\int 5e^{7t}\,dt = 5 \cdot \frac{1}{7}e^{7t} = \frac{5}{7}e^{7t}.

Passo 4

Para \displaystyle \int e^{-t}\,dt, usamos \int e^{kt}\,dt = \tfrac{1}{k}e^{kt} com k=-1:
\int e^{-t}\,dt = \frac{1}{-1}e^{-t} = -e^{-t}.

Passo 5

Para \displaystyle \int \cos(7t)\,dt, usamos \int \cos(kt)\,dt = \tfrac{1}{k}\sin(kt) com k=7:
\int \cos(7t)\,dt = \frac{1}{7}\sin(7t).

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C:
\int\bigl(5e^{7t} + e^{-t} + \cos 7t\bigr)\,dt = \frac{5}{7}e^{7t} \;-\; e^{-t} \;+\; \frac{1}{7}\sin(7t) \;+\; C.

Resposta

\frac{5}{7}e^{7t} - e^{-t} + \frac{1}{7}\sin(7t) + C.

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