Assumindo uma regiāo livre de fontes, deduza a equação de difusão:
DICA: utilize a Lei de Faraday e a seguinte identidade:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa região livre de fontes, a densidade de carga livre
satisfaz
Aqui vamos usar os seguintes ingredientes da eletrodinâmica macroscópica:
- A equação de continuidade, que é consequência da conservação de carga.
- A lei de Ohm macroscópica
. - A lei de Gauss para o campo elétrico em meios lineares:
.
Passo 2
Escrevemos a equação de continuidade em forma diferencial. Ela relaciona a taxa de variação da carga com a divergência da densidade de corrente:
Passo 3
Pela lei de Ohm temos
Logo a divergência de
é
Passo 4
Usamos a lei de Gauss no meio linear, que diz
Substituindo em
fica
Passo 5
Voltando à equação de continuidade, substituímos
para obter
que rearranjado dá precisamente