Assumindo uma regiāo livre de fontes, deduza a equação de difusão:
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t}+\frac{\sigma}{\ell} \rho_{v}=0
DICA: utilize a Lei de Faraday e a seguinte identidade:
\nabla \times \nabla \times E=\nabla(\nabla \cdot E)-\nabla^{2} E

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa região livre de fontes, a densidade de carga livre \rho_{v} satisfaz
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \frac{\sigma}{\ell}\,\rho_{v} = 0.
Aqui vamos usar os seguintes ingredientes da eletrodinâmica macroscópica:
  1. A equação de continuidade, que é consequência da conservação de carga.
  2. A lei de Ohm macroscópica \mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
  3. A lei de Gauss para o campo elétrico em meios lineares: \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho_{v}/\ell.

Passo 2

Escrevemos a equação de continuidade em forma diferencial. Ela relaciona a taxa de variação da carga com a divergência da densidade de corrente:
\nabla\cdot\mathbf{J} + \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = 0.

Passo 3

Pela lei de Ohm temos
\mathbf{J} = \sigma\,\mathbf{E}.
Logo a divergência de \mathbf{J} é
\nabla\cdot\mathbf{J} = \sigma\,\bigl(\nabla\cdot\mathbf{E}\bigr).

Passo 4

Usamos a lei de Gauss no meio linear, que diz
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho_{v}}{\ell}.
Substituindo em \nabla\cdot\mathbf{J} fica
\nabla\cdot\mathbf{J} = \sigma\,\frac{\rho_{v}}{\ell}.

Passo 5

Voltando à equação de continuidade, substituímos \nabla\cdot\mathbf{J} para obter
\sigma\,\frac{\rho_{v}}{\ell} + \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = 0,
que rearranjado dá precisamente
\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \frac{\sigma}{\ell}\,\rho_{v} = 0.

Resposta

\frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} + \frac{\sigma}{\ell}\,\rho_{v} = 0.

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