Considere f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } & 0<x<1 \\\\ 0 & \text { se } & x>1\end{array}\right., encontre \hat{f}_{c}(w)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier cosseno de \displaystyle f(x)=\begin{cases}x,&0<x<1,\\\ 0,&x>1,\end{cases}
ou seja, calcular
\hat f_{c}(w)=\int_{0}^{\infty}f(x)\,\cos(wx)\,dx.

Passo 2

Como f(x)=0 para x>1, o integral reduz a
\hat f_{c}(w)=\int_{0}^{1}x\cos(wx)\,dx.

Passo 3

Vamos usar integração por partes. Escolhemos
u=x,\quad dv=\cos(wx)\,dx
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du=dx,\quad v=\frac{\sin(wx)}{w}.
Assim
\int_{0}^{1}x\cos(wx)\,dx = \left[\frac{x\sin(wx)}{w}\right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\frac{\sin(wx)}{w}\,dx.

Passo 4

Calculemos o segundo integral:
\int_{0}^{1}\sin(wx)\,dx = \left[-\frac{\cos(wx)}{w}\right]_{0}^{1} = -\frac{\cos w-1}{w}.
Substituindo,
\int_{0}^{1}x\cos(wx)\,dx = \frac{\sin w}{w} - \frac{1}{w}\Bigl(-\tfrac{\cos w-1}{w}\Bigr) = \frac{\sin w}{w}+\frac{\cos w-1}{w^{2}} = \frac{w\sin w+\cos w-1}{w^{2}}.

Resposta

\hat f_{c}(w)=\frac{w\sin w+\cos w-1}{w^{2}}.

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