Em uma regiäo livre de cargas, na qual \sigma=0, \epsilon=\epsilon_{o} \epsilon_{r} e \mu=\mu_{o},
\vec{H}=5 \cos \left(10^{11} t-4 y\right) \hat{a}_{2} A / m
encontre: (a) \vec{J}_{d} e \vec{D}; (b) \epsilon_{r}.

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético de onda
\vec H(y,t)=5\cos\bigl(10^{11}t-4y\bigr)\,\hat a_{2}\quad\bigl[\mathrm{A/m}\bigr]
em uma região sem cargas livres \sigma=0 e com \epsilon=\epsilon_{0}\,\epsilon_{r}, \mu=\mu_{0}.
Pede-se (a) a densidade de corrente de deslocamento \vec J_{d} e o vetor \vec D, e (b) o valor de \epsilon_{r}.
Usaremos a lei de Ampère–Maxwell e a relação de dispersão de uma onda plana em meio dielétrico.

Passo 2

Lei de Ampère–Maxwell sem corrente livre \vec J_{f}=0:
\nabla\times\vec H \;=\;\vec J_{d}\;=\;\frac{\partial\vec D}{\partial t}\,.
Como \vec H tem só componente \hat a_{2} que depende apenas de y, calculamos
\nabla\times\vec H =\begin{vmatrix} \hat a_{1}&\hat a_{2}&\hat a_{3}\\\ \partial/\partial x&\partial/\partial y&\partial/\partial z\\\\ 0&H_{2}(y,t)&0 \end{vmatrix} =0\,.
Logo
\vec J_{d}=\nabla\times\vec H=0\,.

Passo 3

Daí \partial\vec D/\partial t=0, ou seja, \vec D independe de t.
Em geral pode haver uma constante vetorial, mas assumindo ausência de campo elétrico estático inicial, toma-se
\vec D=\mathbf{0}\,.

Passo 4

Para achar \epsilon_{r} usamos a relação de onda plana:
\beta \;=\;\omega\sqrt{\mu\,\epsilon} \quad\Longrightarrow\quad \beta^2=\omega^2\mu_{0}\,\epsilon_{0}\,\epsilon_{r}\,,
onde \beta=4 rad/m e \omega=10^{11} rad/s. Assim
\epsilon_{r} =\frac{\beta^2}{\omega^2\,\mu_{0}\,\epsilon_{0}} =\biggl(\frac{\beta\,c}{\omega}\biggr)^{2} \quad\text{com }c=1/\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}\approx3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}.
Numericamente
\epsilon_{r} =\Bigl(\frac{4\cdot3\times10^{8}}{10^{11}}\Bigr)^{2} =(0,012)^{2} =1{,}44\times10^{-4}\,.

Resposta

(a) \vec J_{d}=\mathbf{0}, \vec D=\mathbf{0}.
(b) \displaystyle \epsilon_{r}=1{,}44\times10^{-4}.

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