Dado um campo magnético na forma:
\vec{H}=300 \cos \left(3 \times 10^{\mathrm{s}} t-y\right) \hat{a_{z}} A / m
No espaço livre, calcule a fem desenvolvida na direção e sentido genérico \hat{a}_{\varphi} ao longo de um caminho fechado que possui o seguinte domínio:
D=0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de intensidade magnética em espaço livre
\vec H(x,y,t)=300\cos\bigl(\omega t - y\bigr)\,\hat a_z\quad(A/m)\,,
com \omega=3\times10^{s}. Pede-se a f.e.m. (força eletromotriz) induzida ao longo do contorno fechado do retângulo 0\le x\le1,\;0\le y\le1, tomando o sentido de integração genérico \hat a_\varphi. Para resolver vamos usar a Lei de Faraday no integral:
\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell \;=\;-\,\frac{d}{dt}\int_S\vec B\cdot d\vec S
e, em espaço livre, \vec B=\mu_0\vec H.

Passo 2

Escrevemos a f.e.m. como
e(t)\;=\;\oint_C\vec E\cdot d\vec\ell \;=\;-\,\frac{d}{dt}\!\!\int_{S}\!B_z\,dS \;=\;-\,\mu_0\,\frac{d}{dt}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\!H_z(x,y,t)\,dx\,dy.

Passo 3

Calculemos o fluxo de \vec H sobre S:
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}300\cos\bigl(\omega t - y\bigr)\,dx\,dy =300\int_{0}^{1}\!\Bigl[\int_{0}^{1}\!dx\Bigr]\cos(\omega t - y)\,dy =300\int_{0}^{1}\cos(\omega t - y)\,dy.
Fazendo u=\omega t - y (logo du=-dy),
\int_{0}^{1}\cos(\omega t - y)\,dy =\sin(\omega t)-\sin(\omega t -1).
Portanto o fluxo de \vec H é
\Phi_H(t) =300\bigl[\sin(\omega t)-\sin(\omega t -1)\bigr].

Passo 4

Derivando em relação a t:
\frac{d\Phi_H}{dt} =300\bigl[\omega\cos(\omega t)-\omega\cos(\omega t -1)\bigr] =300\,\omega\bigl[\cos(\omega t)-\cos(\omega t -1)\bigr].
Logo, pela Lei de Faraday,
e(t) =-\,\mu_0\,\frac{d\Phi_H}{dt} =-\,\mu_0\,300\,\omega\, \bigl[\cos(\omega t)-\cos(\omega t -1)\bigr].

Resposta

A f.e.m. induzida ao longo do contorno é
\boxed{ e(t) =-\,300\,\mu_{0}\,\omega\, \bigl[\cos(\omega t)-\cos(\omega t -1)\bigr] \quad\text{com}\;\omega=3\times10^{s}.}

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