f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{x}, & \text { se } x \leq 1 \\\\ -x+2, & \text { se } x>1 \end{array}\right.
(a) (18Pts) Mostre que f é derivável em x=1 e encontre f^{\prime}(1).
Obs: f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{-x_{0}}.
(b) (7Pts) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=1.
e pede:
(a) mostrar que f é derivável em x=1 e encontrar f'(1);
(b) obter a reta tangente ao gráfico de f em x=1.
O conteúdo é a definição de derivada via limites laterais e a fórmula da reta tangente
y - f(1) = f'(1)\,(x-1).]
Passo 2
Primeiro, calculamos f(1) usando o ramo x\le1:
f(1)=\frac1{1}=1.
A derivada em x_0=1 existe se e somente se os limites laterais