Questão 4: Seja f a função dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{x}, & \text { se } x \leq 1 \\\\ -x+2, & \text { se } x>1 \end{array}\right.
(a) (18Pts) Mostre que f é derivável em x=1 e encontre f^{\prime}(1).
Obs: f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{-x_{0}}.
(b) (7Pts) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac1x, & x\le1,\\[6pt] -x+2, & x>1, \end{cases}
e pede:
(a) mostrar que f é derivável em x=1 e encontrar f'(1);
(b) obter a reta tangente ao gráfico de f em x=1.
O conteúdo é a definição de derivada via limites laterais e a fórmula da reta tangente
y - f(1) = f'(1)\,(x-1).]

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1) usando o ramo x\le1:
f(1)=\frac1{1}=1.
A derivada em x_0=1 existe se e somente se os limites laterais
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}
existirem e coincidirem.

Passo 3

Cálculo do limite lateral pela esquerda x\le1, f(x)=1/x:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{\frac1x - 1}{x-1} =\frac{\frac{1 - x}{x}}{x-1} =\frac{-(x-1)}{x\,(x-1)} =-\frac1x.
Fazendo x\to1^- obtemos
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =-\frac1{1}=-1.

Passo 4

Cálculo do limite lateral pela direita x>1, f(x)=-x+2:
\frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\frac{(-x+2)-1}{x-1} =\frac{-x+1}{x-1} =\frac{-(x-1)}{x-1} =-1.
Portanto
\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=-1.

Passo 5

Como ambos os limites laterais existem e valem -1, concluímos que f é derivável em x=1 e
f'(1)=-1.

Passo 6

A reta tangente em x=1 usa a fórmula
y - f(1) = f'(1)\,(x-1),
isto é
y - 1 = -1\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

(a) f é derivável em x=1 e f'(1)=-1.
(b) A reta tangente em x=1 é y=-x+2.

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