Assumindo um sinal senoidal puro a uma frequência de operação de 314 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, calcule a tensão fasorial V que surge em cada um dos seguintes elementos quando supridos pela corrente fasorial I=10 \angle 0^{\circ} A :
Resistor de 1 \Omega em série com um capacitor de 1 m F

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado o sinal de operação com frequência angular \omega=314\\ \mathrm{rad/s}.
  • A corrente fasorial que alimenta o circuito é \displaystyle I=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Os elementos conectados em série são: um resistor de \displaystyle 1\\ \Omega e um capacitor de \displaystyle 1\\ \mathrm{mF} (ou seja, \displaystyle 1\times 10^{-3}\\ \mathrm{F}).
  • O que se pede: calcular a tensão fasorial que surge em cada elemento (ou seja, a tensão no resistor, a tensão no capacitor e, naturalmente, a tensão total na série).

Passo 2

Relembrando conceitos essenciais (passo-a-passo, sem pressa):
  • Em regime senoidal permanente, trabalhamos com fasores: a corrente e a tensão são representadas por números complexos (módulo e fase). Multiplicar um fasor de corrente pela impedância complexa do elemento nos dá o fasor da tensão nesse elemento.
  • A impedância do resistor é puramente real e dada por
Z_R = R
onde \displaystyle R é a resistência em ohms. Aqui \displaystyle R=1\\ \Omega.
  • A impedância do capacitor é dada por
Z_C = \frac{1}{j\omega C}
onde \displaystyle j é a unidade imaginária ( j^2=-1), \displaystyle \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s} e \displaystyle C é a capacitância em farads. Vou aplicar essa fórmula numericamente a seguir.

Passo 3

Calculemos a impedância do capacitor numericamente:
  • Primeiro calcule \displaystyle \omega C:
\omega C = 314 \times 1\times 10^{-3} = 0,314.
  • Agora a impedância do capacitor:
Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j\cdot 0,314} = -\,\mathrm{j}\,\frac{1}{0,314}.
  • Calcule \displaystyle \frac{1}{0,314}:
\frac{1}{0,314}\approx 3,184713.
  • Portanto
Z_C \approx -\,\mathrm{j}\,3,184713\\ \Omega.

Passo 4

A impedância total da associação em série (resistor em série com capacitor) é a soma das impedâncias:
Z = Z_R + Z_C = 1 - \mathrm{j}\,3,184713\\ \Omega.
Isso é um número complexo na forma retangular (\text{parte real} + j\cdot\text{parte imaginária})á.

Passo 5

Tensão no resistor: multiplica-se a corrente pelo \,Z_R.
  • Usando \displaystyle I=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A} e \displaystyle Z_R=1\\ \Omega,
V_R = I\cdot Z_R = 10\angle 0^\circ \cdot 1 = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Em forma retangular isso é simplesmente
V_R = 10 + \mathrm{j}\,0\\ \mathrm{V}.
Interpretação rápida: tensão no resistor está em fase com a corrente (mesma fase).

Passo 6

Tensão no capacitor: multiplica-se a corrente pelo \,Z_C.
  • Com \displaystyle Z_C \approx -\mathrm{j}\,3,184713\\ \Omega,
V_C = I\cdot Z_C = 10\angle 0^\circ \cdot \big(-\mathrm{j}\,3,184713\big) = -\mathrm{j}\,31,84713\\ \mathrm{V}.
  • Em forma polar, lembrar que multiplicar por -\mathrm{j} equivale a um deslocamento de fase de -90^\circ. Assim
V_C \approx 31,847\angle -90^\circ\\ \mathrm{V}.
(aproximação visual: o módulo é \,10\times 3,184713=31,84713 e a fase é -90^\circ).

Passo 7

Tensão total na série: soma vetorial (complexa) das tensões nos elementos, ou diretamente V=I\cdot Z.
  • Já temos Z=1-\mathrm{j}\,3,184713. Então
V = I\cdot Z = 10\angle 0^\circ \cdot (1-\mathrm{j}\,3,184713) = 10 - \mathrm{j}\,31,84713\\ \mathrm{V}.
  • Agora convertemos essa forma retangular para a forma polar (módulo e ângulo). O módulo é
|V| = \sqrt{(\operatorname{Re}V)^2 + (\operatorname{Im}V)^2} = \sqrt{10^2 + (-31,84713)^2}.
Calculemos:
10^2 = 100,\quad (-31,84713)^2 \approx 1014,1,
100 + 1014,1 \approx 1114,1,
|V| \approx \sqrt{1114,1} \approx 33,38\\ \mathrm{V}.
  • O ângulo (fase) é
\angle V = \operatorname{atan2}(\operatorname{Im}V,\operatorname{Re}V) = \operatorname{atan2}(-31,84713,\,10).
Isso dá aproximadamente -72,6^\circ. Logo em forma polar:
V \approx 33,38\angle -72,6^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Resumo numérico das três tensões (formas retangular e polar quando útil), anotando como calcular rápido na prova:
  • Tensão no resistor:
V_R = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no capacitor:
V_C \approx -\mathrm{j}\,31,847\\ \mathrm{V}\quad\text{ou}\quad V_C \approx 31,847\angle -90^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Tensão total (série):
V \approx 10 - \mathrm{j}\,31,847\\ \mathrm{V}\quad\text{ou}\quad V \approx 33,38\angle -72,6^\circ\\ \mathrm{V}.
Dica de prova: calcule primeiro \omega C, deduza Z_C, calcule tensões parciais por multiplicação direta V=I\cdot Z e some em forma retangular se precisar de componente real/imag. Para comparar ângulos, converta a forma polar.

Resposta

V_R = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
V_C \approx 31,847\angle -90^\circ\\ \mathrm{V}
V \approx 33,38\angle -72,6^\circ\\ \mathrm{V}

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