Assumindo um sinal senoidal puro a uma frequência de operação de 314 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, calcule a tensão fasorial V que surge em cada um dos seguintes elementos quando supridos pela corrente fasorial I=10 \angle 0^{\circ} A :
Calcule o valor instantâneo de cada tensão em t=10 m s

Passo 1

Dados fornecidos (copiando do enunciado):
\omega=314\\ \mathrm{rad/s},\qquad I=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A},\qquad t=10\\ \mathrm{ms}=0,01\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede: “calcule a tensão fasorial V que surge em cada um dos seguintes elementos” e "calcule o valor instantâneo de cada tensão em t=10\\ \mathrm{ms}".
Aqui há uma informação que falta e que é essencial para obter valores numéricos: o enunciado menciona “cada um dos seguintes elementos” mas a lista desses elementos e os seus valores (por exemplo R, L, C, ou valores numéricos desses) não foram enviados. Portanto não é possível fornecer respostas numéricas concretas para tensões sem saber quais elementos e seus valores.
Vou, então, assumir que o que você quer é (a) a fórmula geral para a tensão fasorial em elementos típicos (resistor, indutor, capacitor) quando alimentados pela corrente fasorial dada e (b) o procedimento para calcular o valor instantâneo em t=0,01\\ \mathrm{s}. Vou apresentar tudo passo a passo, de forma didática e com expressões finais onde você só precisa substituir os valores de R, L e C para obter números.

Passo 2

Conceito de fasor e ligação com o tempo:
  • Se a corrente no regime senoidal estacionário é dada em forma fasorial por I (aqui I=10\angle 0^\circ), nós interpretamos isso como a amplitude complexa tal que a forma no tempo é
i(t)=\Re\{I e^{j\omega t}\}.
Explicando: \Re\{\cdot\} significa “parte real”. j é a unidade imaginária. \omega é a frequência angular em rad/s. Se I=|I|\angle\theta_I, então
i(t)=|I|\cos(\omega t+\theta_I).
  • Importante: estou usando a convenção em que o fasor representa a amplitude complexa (pico). Se o seu I=10\angle0^\circ for RMS, a fórmula temporal precisaria de fator \sqrt{2}. Aqui assumo que I é a amplitude (pico) porque é a convenção mais direta para converter para v(t)=\Re\{V e^{j\omega t}\}.

Passo 3

Impedâncias dos elementos básicos (fórmulas e significado das variáveis):
  • Resistor: \displaystyle Z_R=R. Aqui R é a resistência em ohms ( \Omega).
  • Indutor: \displaystyle Z_L=j\omega L. Aqui L é a indutância em henry (H). O fator j\omega L introduz um atraso/avanço de fase de +90^\circ (porque multiplicar por j equivale a adicionar +90^\circ).
  • Capacitor: \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C}. Aqui C é a capacitância em farad (F). O fator -j/(\omega C) equivale a um deslocamento de fase de -90^\circ.
Essas fórmulas dizem como cada elemento “converte” uma corrente em uma tensão no domínio fasorial pela lei de Ohm generalizada:
V = Z\; I.

Passo 4

Expressões fasoriais (multiplicando I pela impedância):
Usando I=10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A} e \omega=314\\ \mathrm{rad/s}:
  • Para o resistor R:
\boxed{V_R = Z_R I = R\cdot 10\angle 0^\circ = 10R\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.}
Isso significa magnitude |V_R|=10R e ângulo \angle V_R=0^\circ.
  • Para o indutor L:
\boxed{V_L = Z_L I = j\omega L \cdot 10\angle 0^\circ = 10\omega L \angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.}
Usando \omega=314,
\boxed{V_L = 10\cdot 314\cdot L \angle 90^\circ = 3140\,L\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.}
Magnitude |V_L|=3140\,L (volts), ângulo +90^\circ.
  • Para o capacitor C:
\boxed{V_C = Z_C I = \frac{1}{j\omega C}\cdot 10\angle 0^\circ = \frac{10}{\omega C}\angle (-90^\circ)\\ \mathrm{V}.}
Usando \omega=314,
\boxed{V_C = \frac{10}{314\,C}\angle -90^\circ \\ \mathrm{V}.}
Magnitude |V_C|=\dfrac{10}{314\,C}, ângulo -90^\circ.
Observação didática curta: multiplicar 10\angle0^\circ por j (ou por -j) simplesmente adiciona +90^\circ (ou -90^\circ) ao ângulo do fasor e escala a magnitude pelo valor absoluto do fator.

Passo 5

Converter cada fasor para a forma instantânea v(t):
Regra geral:
v(t)=\Re\{V e^{j\omega t}\}=|V|\cos(\omega t+\angle V).
Aplicando a cada elemento (com \omega t = 314\,t):
  • Resistor:
v_R(t)=10R\cos(314\,t).
Em t=0,01\\ \mathrm{s} (ou 10\\ \mathrm{ms}):
v_R(0,01)=10R\cos(314\cdot 0,01)=10R\cos(3,14).
Sabendo que \cos(3,14)\approx -0,9999987 (próximo de -1), uma boa aproximação prática é
\boxed{v_R(0,01)\approx -10R\\ \mathrm{V}.}
(Se quiser mais precisão, mantenha \cos(3,14) no cálculo.)
  • Indutor:
v_L(t)=|V_L|\cos(314\,t+90^\circ)=3140\,L\cos(314\,t+90^\circ).
Usando a identidade \cos(\theta+90^\circ)=-\sin\theta,
v_L(t)=-3140\,L\sin(314\,t).
Em t=0,01\\ \mathrm{s}:
v_L(0,01)=-3140\,L\sin(3,14).
Como \sin(3,14)\approx 0,00159265,
3140\cdot 0,00159265\approx 5,00,
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\boxed{v_L(0,01)\approx -5{,}00\,L\\ \mathrm{V}.}
(onde L está em henry; por exemplo, se L=1\\ \mathrm{H}, v_L(0,01)\approx -5{,}00\\ \mathrm{V}.)
  • Capacitor:
v_C(t)=\frac{10}{314\,C}\cos(314\,t-90^\circ).
Usando \cos(\theta-90^\circ)=\sin\theta,
v_C(t)=\frac{10}{314\,C}\sin(314\,t).
Em t=0,01\\ \mathrm{s}:
v_C(0,01)=\frac{10}{314\,C}\sin(3,14).
Com \sin(3,14)\approx 0,00159265 obtemos aproximadamente
\frac{10\cdot 0,00159265}{314}\approx 0,00005073,
ou seja
\boxed{v_C(0,01)\approx \frac{5{,}073\times 10^{-5}}{C}\\ \mathrm{V}.}
Aqui C em farad. Por exemplo, se C=1\\ \mu\mathrm{F}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, então v_C(0,01)\approx 50{,}73\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Resumo do procedimento prático (para usar na prova; passo a passo rápido):
  1. Identifique o elemento e seu valor R, L ou C.
  2. Calcule a impedância com \omega=314.
  3. Calcule o fasor V=Z\cdot I (multiplique magnitude e some ângulos).
  4. Converta para o tempo: v(t)=|V|\cos(\omega t+\angle V).
  5. Substitua t=0,01\\ \mathrm{s} para obter o valor instantâneo.
    Se quiser resposta numérica final, basta substituir os valores numéricos de R, L e/ou C nas expressões que dei.

Resposta

V_R=10R\angle 0^\circ ; v_R(0,01)=10R\cos(3,14)\approx -10R\\ \mathrm{V}.
V_L=3140\,L\angle 90^\circ ; v_L(0,01)=-3140\,L\sin(3,14)\approx -5{,}00\,L\\ \mathrm{V}.
V_C=\dfrac{10}{314\,C}\angle -90^\circ ; v_C(0,01)=\dfrac{10}{314\,C}\sin(3,14)\approx \dfrac{5{,}073\times10^{-5}}{C}\\ \mathrm{V}.
(Observação: não foi possível fornecer valores numéricos absolutos porque o enunciado não incluiu os elementos e seus valores numéricos. Substitua R, L, C para obter os números.)

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