Assumindo um sinal senoidal puro a uma frequência de operação de 314 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, calcule a tensão fasorial V que surge em cada um dos seguintes elementos quando supridos pela corrente fasorial I=10 \angle 0^{\circ} A :
Resistor de 2 \Omega em série com um indutor de 8 m H

Passo 1

O enunciado pede: calcular a tensão fasorial que surge em cada elemento de um circuito formado por um resistor de 2\\ \Omega em série com um indutor de 8\\ \mathrm{mH}, quando a corrente fasorial que percorre a série é \displaystyle I = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
Informações dadas:
\omega = 314\\ \mathrm{rad/s},\quad R=2\\ \Omega,\quad L=8\\ \mathrm{mH} = 8\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
I = 10\angle 0^\circ\\ \mathrm{A}.
Perguntas implícitas (o que vou calcular):
  • A tensão fasorial sobre o resistor ( V_R);
  • A tensão fasorial sobre o indutor ( V_L);
  • A tensão fasorial total sobre a série ( V_{total}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas necessárias (aula rapidinha, mas clara):
  • Impedância do resistor: \displaystyle Z_R = R. Aqui R é a resistência em ohms e Z_R tem fase 0^\circ (colocada como número real).
  • Impedância do indutor: \displaystyle Z_L = j\omega L. Aqui \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s}, L é a indutância em henrys, j é a unidade imaginária (na engenharia elétrica j em vez de i). Multiplicar por j equivale a um deslocamento de fase de +90^\circ.
  • Em série, as impedâncias somam: \displaystyle Z_{total} = Z_R + Z_L.
  • A lei de Ohm em fasores: \displaystyle V = I\cdot Z. Para cada elemento, \displaystyle V_R = I\cdot Z_R e \displaystyle V_L = I\cdot Z_L.
  • Para converter de forma retangular a + jb para forma polar usamos:
|V| = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad \angle V = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right).
Aqui a é a parte real e b a parte imaginária. Se a for negativo ou estiver em outro quadrante, devemos ajustar o ângulo, mas neste problema a>0, então \arctan(b/a) funciona diretamente.

Passo 3

Calcular \omega L (que é a reatância indutiva em ohms):
\omega L = 314 \times 8\times10^{-3} = 314 \times 0{,}008.
Faço a conta:
314 \times 0{,}008 = 2{,}512\\ \Omega.
Logo a impedância do indutor é
\displaystyle Z_L = j\omega L = j\,2{,}512\\ \Omega.

Passo 4

Escrever as impedâncias dos elementos:
Z_R = 2\\ \Omega \quad(\text{real}),
Z_L = j\,2{,}512\\ \Omega.
Impedância total em série:
Z_{total} = Z_R + Z_L = 2 + j\,2{,}512\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a tensão no resistor usando \displaystyle V_R = I\cdot Z_R. Como Z_R é real, a tensão no resistor fica em fase com a corrente:
V_R = 10\angle 0^\circ \cdot 2 = 20\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Em forma retangular isso é \displaystyle V_R = 20 + j\,0\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Calcular a tensão no indutor usando \displaystyle V_L = I\cdot Z_L. Aqui multiplicamos por j\,2{,}512:
V_L = 10\angle 0^\circ \cdot j\,2{,}512 = j\,25{,}12\\ \mathrm{V}.
Convertendo para forma polar: multiplicar por j equivale a adicionar +90^\circ, então
V_L = 25{,}12\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 7

A tensão total sobre a série é a soma das tensões em cada elemento (ou diretamente V_{total}=I\cdot Z_{total}). Vou somar em retangular:
V_{total} = V_R + V_L = (20 + j\,0) + (0 + j\,25{,}12) = 20 + j\,25{,}12\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Converter V_{total}=20 + j\,25{,}12 para forma polar usando as fórmulas de magnitude e ângulo:
Magnitude:
|V_{total}| = \sqrt{20^2 + 25{,}12^2} = \sqrt{400 + 631{,}01} = \sqrt{1031{,}01}\approx 32{,}12\\ \mathrm{V}.
Ângulo:
\angle V_{total} = \arctan\!\left(\frac{25{,}12}{20}\right) = \arctan(1{,}256) \approx 51{,}9^\circ.
Portanto
V_{total} \approx 32{,}12\angle 51{,}9^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Resumo didático final (para gravar na prova):
  • Multiplicar a corrente pelo valor real da resistência dá a tensão em fase (resistor).
  • Multiplicar a corrente por j\omega L dá uma tensão com mesma magnitude de I\omega L e defasada de +90^\circ (indutor).
  • Somando vetorialmente (complexamente) as tensões obtem-se a tensão total da série, que pode ser convertida para polar com as fórmulas de magnitude e arco-tangente.

Resposta

\displaystyle V_R = 20\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle V_L = 25{,}12\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle V_{total} = 32{,}12\angle 51{,}9^\circ\\ \mathrm{V}

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