Obtenha as senoides correspondentes a cada um dos seguintes fasores:
V_{2}=5+j 9 V, \omega=35 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá o fasor V_{2}=5+j9\\ \mathrm{V} e a pulsação \omega=35\\ \mathrm{rad/s}. O que é pedido: obter a(s) senoide(s) no domínio do tempo que correspondem a esse fasor, isto é, encontrar v_{2}(t) real associada a V_{2} para a frequência dada.

Passo 2

Entendendo o que o fasor significa (aula curta e prática). Um fasor complexo \tilde{V} representa a amplitude complexa de uma senóide harmônica. A conexão entre fasor e tempo é feita por
v(t)=\Re\{\tilde{V}\,e^{j\omega t}\},
onde \Re\{\cdot\} significa “parte real”. Explico por que: usemos a fórmula de Euler
e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta.
Assim, multiplicar \tilde{V}=V_r+jV_i por e^{j\omega t} e tomar a parte real dá exatamente a combinação de cosseno e seno que é a onda no tempo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: escrevemos
V_{2}e^{j\omega t}=(5+j9)\bigl(\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)\bigr).
Agora multiplicamos termo a termo (vou desenvolver devagar para você acompanhar):
(5+j9)(\cos\omega t + j\sin\omega t)=5\cos\omega t + j5\sin\omega t + j9\cos\omega t + j^29\sin\omega t.
Lembre que j^2=-1. Então os termos ficam:
5\cos\omega t + j5\sin\omega t + j9\cos\omega t -9\sin\omega t.
A parte real dessa expressão é o que queremos, isto é,
v_{2}(t)=5\cos(\omega t)-9\sin(\omega t).
Substituindo \omega=35\\ \mathrm{rad/s} obtemos a forma explícita
v_{2}(t)=5\cos(35t)-9\sin(35t)\\ \mathrm{V}.
Interpretação prática: isso já é uma senoide (combinação de cosseno e seno) que corresponde ao fasor dado.

Passo 4

Agora vamos converter essa soma de cosseno e seno para uma única senoide amplitude-fase (útil na prova e em circuitos). A forma geral é
A\cos(\omega t+\varphi)=A\cos\omega t\cos\varphi - A\sin\omega t\sin\varphi.
Comparando com 5\cos\omega t-9\sin\omega t, queremos A\cos\varphi=5 e A\sin\varphi=9 (observe sinal: temos -9\sin\omega t, por isso A\sin\varphi=9 e o termo aparece com sinal negativo quando usamos \cos(\omega t+\varphi)). Daí o módulo e a fase são dados por:
A=|\tilde{V}|=\sqrt{5^{2}+9^{2}}=\sqrt{106},
\varphi=\operatorname{atan2}(9,5)=\arctan\!\left(\frac{9}{5}\right).
Calculemos numericamente (mostrando as contas): \sqrt{106}\approx 10,296 e \arctan(9/5)\approx 1,0637\\ \mathrm{rad} (ou \approx 60,945^\circ). Portanto a forma única é
v_{2}(t)=10,296\cos\bigl(35t+1,0637\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Observação didática e importante para a prova: a relação v(t)=\Re\{\tilde{V}e^{j\omega t}\} vale independentemente de você interpretar \tilde{V} como amplitude de pico ou como fasor em valor eficaz (RMS). Se \tilde{V} for o valor eficaz (RMS), para escrever a senóide em amplitude de pico multiplique por \sqrt{2}. Aqui eu tratei \tilde{V}=5+j9 como a amplitude complexa usada diretamente na fórmula acima; se na sua turma o professor usa fasores RMS, lembre de converter.

Resposta

v_{2}(t)=5\cos(35t)-9\sin(35t)\\ \mathrm{V}
v_{2}(t)=10,296\cos\bigl(35t+1,0637\bigr)\\ \mathrm{V}

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