Assumindo que y=sumn=0^+infty cn x^n seja uma solução da equação diferencial dada, encontre a relação de recorrência entre cn e (se for possível) a forma geral de y.
(1+x^2) y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências da equação
(1+x^2)y''-4xy'+6y=0
assumindo
y=sumn=0^inftycnx^n
O conteúdo é solução por séries em ponto ordinário; vamos calcular y', y'', substituir e igualar coeficientes.

Passo 2

Calculemos
y'=sumn=1^inftyn,cnx^n-1, y''=sumn=2^inftyn(n-1),cnx^n-2
Então
(1+x^2)y''=sumn=2^inftyn(n-1)cnx^n-2+sumn=2^inftyn(n-1)cnx^n,
-4xy'=-4sumn=1^inftyn,cnx^n, 6y=6sumn=0^inftycnx^n

Passo 3

Reindexando o primeiro termo de (1+x^2)y'' pela mudança k=n-2
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ck+2x^k,
e os demais em potências x^k são
sumk=2^inftyk(k-1)ckx^k, -4sumk=1^inftyk,ckx^k, 6sumk=0^inftyckx^k
Somando e igualando coeficiente de x^k a zero, para k>=2 obtemos
(k+2)(k+1)ck+2+l[k(k-1)-4k+6r]ck=0

Passo 4

Note que
k(k-1)-4k+6=k^2-5k+6=(k-2)(k-3)
Para k=0 e k=1 as equações iniciais dão
2cdot1,c2+6c0=0implies c2=-3c0,
3cdot2,c3+2c1=0implies c3=-tfrac13c1

Passo 5

Para k>=2 a relação geral é
ck+2=-(k-2)(k-3)(k+2)(k+1),ck

Passo 6

Dessa relação segue que, partindo de c0, c2=-3c0 e em diante (2-2)(2-3)=0 implica c4=c6=cdots=0. Obtemos a solução polinomial de grau 2
y1(x)=c0l(1-3x^2r)
Analogamente, partindo de c1 aparece c3=-tfrac13c1 e depois c5=c7=cdots=0, gerando a solução de grau 3
y2(x)=c1l(x-tfrac13x^3r)
Assim a solução geral é combinação linear de y1 e y2.

Resposta

Relação de recorrência:
ck+2=-(k-2)(k-3)(k+2)(k+1),ck, k>=0
Solução geral:
y=C1l(1-3x^2r)+C2l(x-tfrac13x^3r)

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