Assumindo que
seja uma solução da equação diferencial dada, encontre a relação de recorrência entre
e (se for possível) a forma geral de
.
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série de potências da equação
assumindo
O conteúdo é solução por séries em ponto ordinário; vamos calcular
,
, substituir e igualar coeficientes.
Passo 2
Calculemos
Então
Passo 3
Reindexando o primeiro termo de
pela mudança
dá
e os demais em potências
são
Somando e igualando coeficiente de
a zero, para
obtemos
Passo 4
Note que
Para
e
as equações iniciais dão
Passo 5
Para
a relação geral é
Passo 6
Dessa relação segue que, partindo de
,
e em diante
implica
. Obtemos a solução polinomial de grau 2
Analogamente, partindo de
aparece
e depois
, gerando a solução de grau 3
Assim a solução geral é combinação linear de
e
.
Resposta
Relação de recorrência:
Solução geral: