Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e em caso positivo determine sua função potencial.
F(x, y)=y e^x i+(e^x+e^y) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j,
onde
P(x,y)=y,e^x, Q(x,y)=e^x+e^y,
é conservativo em R^2 (que é simplesmente conexo) e, se for, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
nablaphi = F

Passo 2

Para testar se F é conservativo em R^2, comparamos
partial Ppartial y e partial Qpartial x.
Calculando:
partial Ppartial y =partialpartial yl(y,e^xr) =e^x,
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^x+e^yr) =e^x

Passo 3

Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x=e^x
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que F é de fato um campo conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral y,e^x,dx =y,e^x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Diferenciando esse phi em relação a y deve dar Q:
partial phipartial y =e^x + h'(y)
e sabemos que isso deve ser igual a
Q(x,y)=e^x+e^y.
Logo
h'(y)=e^y Longrightarrow h(y)=integral e^y,dy=e^y + C
Portanto
phi(x,y) =y,e^x + e^y + C

Resposta

O campo F é conservativo e uma função potencial é
phi(x,y)=y,e^x+e^y + C

Exercícios relacionados