Verifique se os campos vetoriais a seguir são conservativos e em caso positivo determine sua função potencial.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
,
onde
onde
é conservativo em
(que é simplesmente conexo) e, se for, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Para testar se
é conservativo em
, comparamos
e
.
Calculando:
Calculando:
Passo 3
Como
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que é de fato um campo conservativo.
e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
Passo 4
Para encontrar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Diferenciando esse
em relação a
deve dar
:
e sabemos que isso deve ser igual a
.
Logo
e sabemos que isso deve ser igual a
Logo
Portanto
Resposta
O campo
é conservativo e uma função potencial é