Assumindo que a Transformada de Laplace de y(x) exista, resolva a equação integral de convolução em relação a y(x):
y(x)=x+integral0^x y(t) sen(x-t) d t

Passo 1

O enunciado dá a equação integral de convolução
y(x)=x+integral0^xy(t)sin(x-t),dt
e pede para encontrar y(x). O conteúdo necessário é a transformada de Laplace e a propriedade de convolução:
Lf*g(s)=Lf(s),Lg(s)

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando Ly(s)=Y(s), lembramos que
Lx=1/s^2 e Lsin x=1/(s^2+1).
Assim,
Y(s)=1s^2+Y(s),1s^2+1

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)l(1-1s^2+1r)=1s^2 Longrightarrow Y(s)=1s^2;s^2+1s^2 =s^2+1s^4 =1s^2+1s^4

Passo 4

Voltamos ao domínio do tempo via transformada inversa. Sabendo que
L^-11/s^2=x e L^-11/s^4=x^3/6, obtemos
y(x)=x+x^36

Resposta

y(x)=x+x^36

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