A função z=f(x, y) é dada como uma função implícita. Encontre
i) partial zpartial x, partial zpartial y;
ii) a equação do plano tangente,
iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
(a) x^2+y^2-z^2=12, (3,2,1) ;
(b) 1x+1y+1z-1=0, (2,3,6).

Passo 1

O enunciado pede, para cada superfície dada implicitamente por
F(x,y,z)=0,
(i) as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y via diferenciação implícita, (ii) a equação do plano tangente e (iii) a equação da reta ortogonal ao plano tangente em dois pontos distintos.

Passo 2

Para o caso (a) definimos
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-12=0
Aplicando diferenciação implícita, lembre que
Fx + Fz,partial zpartial x=0 e Fy + Fz,partial zpartial y=0
Calculamos
Fx=2x, Fy=2y, Fz=-2z,
logo
partial zpartial x =-FxFz =-2x-2z =xz, partial zpartial y =-FyFz =-2y-2z =yz
No ponto (3,2,1) ficam
partial zpartial x|(3,2)=31=3, partial zpartial y|(3,2)=21=2

Passo 3

O plano tangente em (x0,y0,z0)=(3,2,1) é dado por
z - z0 =partial zpartial x|(3,2)(x - x0) +partial zpartial y|(3,2)(y - y0)
Substituindo, obtemos
z - 1 = 3,(x - 3) + 2,(y - 2)

Passo 4

A reta ortogonal ao plano tangente tem direção dada pelo vetor normal nabla F(x0,y0,z0)=(Fx,Fy,Fz)|(3,2,1)=(6,4,-2). Assim, em forma paramétrica:
x = 3 + 6,t, y = 2 + 4,t, z = 1 - 2,t

Passo 5

Para o caso (b) tomamos
F(x,y,z)=1x+1y+1z-1=0
Diferenciando implicitamente,
Fx + Fz,partial zpartial x=0, Fy + Fz,partial zpartial y=0,
onde
Fx=-1x^2, Fy=-1y^2, Fz=-1z^2
Logo
partial zpartial x =-FxFz =--1/x^2-1/z^2 =-z^2x^2, partial zpartial y =-FyFz =--1/y^2-1/z^2 =-z^2y^2
No ponto (2,3,6) temos
partial zpartial x|(2,3)=-6^22^2=-9, partial zpartial y|(2,3)=-6^23^2=-4

Passo 6

O plano tangente em (2,3,6) é
z - 6 =(-9)(x - 2) +(-4)(y - 3),
ou, escrito de forma explícita,
z - 6 = -9,(x - 2) - 4,(y - 3)

Passo 7

A reta ortogonal usa o vetor normal nabla F(2,3,6)=l(-tfrac14,-,tfrac19,-,tfrac136r), que podemos escalar para (9,4,1). Em forma paramétrica simples:
x = 2 + 9,t, y = 3 + 4,t, z = 6 + 1,t

Resposta

(a)
i) partial zpartial x=xz, partial zpartial y=yz
ii) z-1=3,(x-3)+2,(y-2)
iii) x=3+6t,;y=2+4t,;z=1-2t
(b)
i) partial zpartial x=-z^2x^2, partial zpartial y=-z^2y^2
ii) z-6=-9,(x-2)-4,(y-3)
iii) x=2+9t,;y=3+4t,;z=6+t

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