A função
é dada como uma função implícita. Encontre
i)
;
ii) a equação do plano tangente,
iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
(a)
(b)
.
i)
ii) a equação do plano tangente,
iii) a equação da reta ortogonal nos pontos dados:
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede, para cada superfície dada implicitamente por
(i) as derivadas parciais
e
via diferenciação implícita, (ii) a equação do plano tangente e (iii) a equação da reta ortogonal ao plano tangente em dois pontos distintos.
Passo 2
Para o caso (a) definimos
Aplicando diferenciação implícita, lembre que
Calculamos
logo
No ponto
ficam
Passo 3
O plano tangente em
(x0,y0,z0)=(3,2,1) é dado por
Substituindo, obtemos
Passo 4
A reta ortogonal ao plano tangente tem direção dada pelo vetor normal
nabla F(x0,y0,z0)=(Fx,Fy,Fz)|(3,2,1)=(6,4,-2) . Assim, em forma paramétrica:
Passo 5
Para o caso (b) tomamos
Diferenciando implicitamente,
onde
Logo
No ponto
(2,3,6) temos
Passo 6
O plano tangente em
(2,3,6) é
ou, escrito de forma explícita,
Passo 7
A reta ortogonal usa o vetor normal
nabla F(2,3,6)=l(-tfrac14,-,tfrac19,-,tfrac136r) , que podemos escalar para
(9,4,1) . Em forma paramétrica simples:
Resposta
(a)
i) partial zpartial x=xz, partial zpartial y=yz
ii) z-1=3,(x-3)+2,(y-2)
iii) x=3+6t,;y=2+4t,;z=1-2t
i)
ii)
iii)
(b)
i) partial zpartial x=-z^2x^2, partial zpartial y=-z^2y^2
ii) z-6=-9,(x-2)-4,(y-3)
iii) x=2+9t,;y=3+4t,;z=6+t
i)
ii)
iii)