Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:
y(x)=2-integral0^x y(t) e^x-t d t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral de convolução
y(x)=2-integral0^xy(t),e^x-t,dt
usando transformadas de Laplace. Vamos precisar da definição
Ly(x)=Y(s)
e da propriedade de convolução
Lf*g(s)=Lf(s),Lg(s)

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Chamando
Ly(x)=Y(s), obtemos
Y(s) =L2 -Llintegral0^xy(t)e^x-tdtr
Como L2=2/s e a integral é a convolução de y(x) com e^x, temos
Llintegral0^xy(t)e^x-tdtr =Y(s),Le^x =Y(s)s-1

Passo 3

Substituindo essas transformadas na equação, vem
Y(s) =2s-Y(s)s-1
Reorganizando para isolar Y(s):
Y(s)l(1+1s-1r) =2s, 1+1s-1=ss-1,
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Y(s),ss-1=2s Longrightarrow Y(s)=2s,s-1s =2(s-1)s^2 = 2s-2s^2

Passo 4

Fazendo a transformada inversa de cada termo:
L^-1l2sr=2, L^-1l2s^2r=2x
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y(x)=2-2x

Resposta

y(x)=2-2x

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