Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear tal que [T]A=[rr-1 & -2 0 & 1], onde A é a base canônica de R^2.
Determine todos os vetores u, v in R^2 tais que T(u)=u e T(v)=-v.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^2toR^2 com matriz na base canônica
[T]A = -1 & -2 [6pt] 0 & 1
e pede os vetores u tais que T(u)=u (autovetores de valor próprio lambda=1) e os vetores v tais que T(v)=-v (autovetores de valor próprio lambda=-1). Para resolver, vamos achar as soluções de (A-lambda I)x=0 para lambda=1 e lambda=-1.]

Passo 2

Para lambda=1 formamos
A - I = -1 & -2 [3pt] 0 & 1 - 1 & 0 [3pt] 0 & 1 = -2 & -2 [3pt] 0 & 0
Resolvendo
-2 & -2 [3pt] 0 & 0 x [3pt] y = 0 [3pt] 0
obtemos a equação -2x -2y = 0, ou seja, x + y = 0.]

Passo 3

Da condição x + y = 0 segue x = -y. Logo os vetores que satisfazem T(u)=u são
u = x [3pt] y = -y [3pt] y = y -1 [3pt] 1 ,
isto é, o subespaço gerado por l(-1,1r).]

Passo 4

Para lambda=-1 calculamos
A + I = -1 & -2 [3pt] 0 & 1 + 1 & 0 [3pt] 0 & 1 = 0 & -2 [3pt] 0 & 2
Resolvendo
0 & -2 [3pt] 0 & 2 x [3pt] y = 0 [3pt] 0
temos -2y=0 e 2y=0, logo y=0.]

Passo 5

Com y=0 o vetor v=(x,0) é livre em x. Assim
v = x 1 [3pt] 0 ,
ou seja, todo vetor no subespaço gerado por l(1,0r).]

Resposta

Os vetores que satisfazem T(u)=u são
u = t -1 [3pt] 1 , tinR,
e os que satisfazem T(v)=-v são
v = s 1 [3pt] 0 , sinR ]

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