Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais
e
são isomorfos, justificando a resposta.
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais
e
são isomorfos, onde
Para isso, vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão.
Passo 2
Calcular a dimensão de
.
O espaço tem base canônica
, logo
O espaço
Passo 3
Calcular a dimensão de
.
Qualquer vetor em é da forma
. Uma base natural de
é
Qualquer vetor em
logo
Passo 4
Concluir sobre o isomorfismo.
Como e
, existe isomorfismo entre
e
. Podemos expor uma aplicação linear bijetora explícita:
Como
Verifica-se que
é linear, injetora e sobrejetora, portanto é um isomorfismo de espaços vetoriais.