Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais U e V são isomorfos, justificando a resposta.
(a) U=R^2, V=(x, y, z) in R^3 ; z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os espaços vetoriais U e V são isomorfos, onde
U = R^2, V = (x,y,z)inR^3 mid z=0
Para isso, vamos usar o fato de que dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo são isomorfos se, e somente se, tiverem a mesma dimensão.

Passo 2

Calcular a dimensão de U.
O espaço R^2 tem base canônica (1,0),(0,1), logo
dim(U) = 2

Passo 3

Calcular a dimensão de V.
Qualquer vetor em V é da forma (x,y,0). Uma base natural de V é
(1,0,0),,(0,1,0),
logo
dim(V) = 2

Passo 4

Concluir sobre o isomorfismo.
Como dim(U)=2 e dim(V)=2, existe isomorfismo entre U e V. Podemos expor uma aplicação linear bijetora explícita:
fcolon R^2 to V, f(a,b) = (a,b,0)
Verifica-se que f é linear, injetora e sobrejetora, portanto é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

U e V são isomorfos.

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