Assumindo x1 in R e x2 in R, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
V(x)=x1^2+x2^2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a forma quadrática
V(x)=x1^2+x2^2
quanto à sua definição: se é positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida ou indefinida. Vamos usar a teoria de formas quadráticas e autovalores para isso.

Passo 2

Reconhecemos como forma quadrática associada à matriz
pois
]

Passo 3

Para decidir a definitude, analisamos os autovalores de Q. Como Q é a matriz identidade em R^2, seus autovalores são
lambda1=1 e lambda2=1,
ambos positivos. Na teoria de formas quadráticas, se todos os autovalores de Q são estritamente positivos, então a forma é positiva definida, ou seja,
V(x)>0para todo xneq0,
e
V(0)=0

Resposta

A forma quadrática V(x)=x1^2+x2^2 é positiva definida.

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