Assumindo
e
, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a forma quadrática
quanto à sua definição: se é positiva definida, positiva semidefinida, negativa definida, negativa semidefinida ou indefinida. Vamos usar a teoria de formas quadráticas e autovalores para isso.
Passo 2
Reconhecemos
como forma quadrática associada à matriz
pois
]
Passo 3
Para decidir a definitude, analisamos os autovalores de
. Como
é a matriz identidade em
, seus autovalores são
ambos positivos. Na teoria de formas quadráticas, se todos os autovalores de
são estritamente positivos, então a forma é positiva definida, ou seja,
e
Resposta
A forma quadrática
é positiva definida.