Assumindo
e
, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para
, e pede para classificá-la como positiva definida, semidefinida positiva, negativa (semi)definida ou indefinida. Para isso, vamos usar as definições:
– é semidefinida positiva se
para todo
.
– é definida positiva se, além disso,
só ocorre em
.
–
–
Passo 2
Analisando o primeiro termo, temos
para todo
, e
somente quando
.
Passo 3
No segundo termo, como
para todo
, temos
e essa fração é zero somente se
, isto é,
.
Passo 4
Somando os dois termos não negativos resulta em
para todo
, e a igualdade
ocorre somente quando simultaneamente
e
.
Resposta
A função
é positiva definida.