Assumindo x1 in R e x2 in R, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
V(x)=x1^2+x2^21+x2^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
V(x)=x1^2+x2^21+x2^2
definida para (x1,x2)inR^2, e pede para classificá-la como positiva definida, semidefinida positiva, negativa (semi)definida ou indefinida. Para isso, vamos usar as definições:
V é semidefinida positiva se V(x)>=0 para todo x.
V é definida positiva se, além disso, V(x)=0 só ocorre em x=0.

Passo 2

Analisando o primeiro termo, temos
x1^2>=0
para todo x1inR, e x1^2=0 somente quando x1=0.

Passo 3

No segundo termo, como 1+x2^2>0 para todo x2, temos
x2^21+x2^2>=0
e essa fração é zero somente se x2^2=0, isto é, x2=0.

Passo 4

Somando os dois termos não negativos resulta em
V(x)=x1^2+x2^21+x2^2>=0
para todo x, e a igualdade V(x)=0 ocorre somente quando simultaneamente x1=0 e x2=0.

Resposta

A função V é positiva definida.

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