Assumindo x1 in R e x2 in R, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
V(x)=-x1^2-(3 x1+2 x2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função
V(x) = -x1^2 - l(3x1+2x2r)^2
quanto à positividade ou negatividade definida ou semidefinida. O conteúdo aqui é a classificação de formas quadráticas em R^2.

Passo 2

Observe que podemos escrever
V(x) = -Q(x),
onde
Q(x) = x1^2 + l(3x1+2x2r)^2
Note que Q(x) é soma de dois quadrados, logo Q(x)>=0 para todo xinR^2.

Passo 3

Verificamos quando Q(x)=0:
Q(x)=0 Longrightarrow x1^2=0 e (3x1+2x2)^2=0 Longrightarrow x1=0,;2x2=0 Longrightarrow x1=0,;x2=0
Logo Q(x)>0 sempre que xneq0, isto é, Q é positiva definida.

Passo 4

Como V(x)=-Q(x), temos V(x)<0 para todo xneq0 e V(0)=0. Portanto V é negativa definida.

Resposta

A função V(x) é negativa definida.

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