Assumindo x1 in R e x2 in R, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
V(x)=(x1+x2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a função quadrática
V(x)=l(x1+x2r)^2
quanto à definitude (positiva, semidefinida positiva, negativa, semidefinida negativa ou indefinida). Vamos usar a definição de formas quadráticas:
– É positiva definida se V(x)>0 para todo xneq0.
– É semidefinida positiva se V(x)>=0 para todo x.
– De modo análogo definem-se as definições negativas.

Passo 2

Observamos que, para quaisquer x1,x2inR,
l(x1+x2r)^2>=0
pois quadrado de um real é sempre não negativo. Logo
V(x)>=0para todo x=(x1,x2)

Passo 3

Verificamos agora se existe x neq 0 tal que V(x) = 0. Basta escolher
x1 + x2 = 0
com x neq 0 (por exemplo x = (1,-1)). Para esse vetor não-nulo
V(1,-1) = (1 - 1)^2 = 0
Portanto não é positiva definida, pois atinge zero fora de x = 0.

Passo 4

Como V(x)>=0 para todo x mas existe xneq0 com V(x)=0, concluímos que V é semidefinida positiva.

Resposta

V(x) é semidefinida positiva.

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