Assumindo
e
, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a função quadrática
quanto à definitude (positiva, semidefinida positiva, negativa, semidefinida negativa ou indefinida). Vamos usar a definição de formas quadráticas:
– É positiva definida se para todo
.
– É semidefinida positiva se para todo
.
– De modo análogo definem-se as definições negativas.
– É positiva definida se
– É semidefinida positiva se
– De modo análogo definem-se as definições negativas.
Passo 2
Observamos que, para quaisquer
,
pois quadrado de um real é sempre não negativo. Logo
Passo 3
Verificamos agora se existe
tal que
. Basta escolher
com
(por exemplo
). Para esse vetor não-nulo
Portanto não é positiva definida, pois atinge zero fora de
.
Passo 4
Como
para todo
mas existe
com
, concluímos que
é semidefinida positiva.