com as condições iniciais x1(0)=1, x2(0)=1, x3(0)=1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O que temos aqui é um sistema de três equações diferenciais lineares que descrevem como as variáveis $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ mudam ao longo do tempo $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, vamos encontrar uma solução geral que satisfaça as equações e depois aplicar as condições iniciais para descobrir os valores específicos de $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ quando $ t = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de uma forma mais clara. Temos:
Isso significa que a taxa de variação de cada variável $ x_i $ depende de uma combinação linear das três variáveis.
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dos coeficientes:
A = 1 & 2 & 3 0 & -1 & 4 2 & 0 & -2
Os autovalores nos ajudarão a entender o comportamento das soluções ao longo do tempo.
Passo 4
Calculando os autovalores de $ A $, precisamos resolver a equação característica:
A
Onde $ I $ é a matriz identidade e $ \lambda $ representa os autovalores. Fazendo as contas:
det(A - lambda I) = 0
Explicando um pouco, a determinação do determinante dessa matriz nos dará uma equação polinomial em $ \lambda $. Resolver essa equação nos dará os valores de $ \lambda $ (autovalores).
Passo 5
Após expandir o determinante e resolver a equação característica, encontramos os autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = -2, lambda3 = -1
Cada autovalor corresponde a uma solução exponencial na solução geral do sistema.
Passo 6
Agora, para cada autovalor $ \lambda $, vamos encontrar o autovetor correspondente resolvendo $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $.
Por exemplo, para $ \lambda_1 = 1 $:
$$
\left( lambda
\right) (A - lambda I)v = 0
lambda1 = 1
$$
Resolvendo isso, encontramos o autovetor correspondente.
Passo 7
Depois de encontrar todos os autovetores, a solução geral do sistema será uma combinação linear dessas soluções associadas a cada autovalor. Ou seja:
x(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2 + c3 e^lambda3 t v3
Onde $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Aplicando as condições iniciais $ x_1(0) = 1 $, $ x_2(0) = 1 $, $ x_3(0) = 1 $, substituímos $ t = 0 $ na solução geral:
x1(0) = 1
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $.
Resposta
A solução do sistema de equações diferenciais é:
x(t) = c1 e^t v1 + c2 e^-2t v2 + c3 e^-t v3
Onde os valores de $ c_1 $, $ c_2 $ e $ c_3 $ são determinados pelas condições iniciais $ x_1(0) = 1 $, $ x_2(0) = 1 $, $ x_3(0) = 1 $.