Prove que a altura do triang<= A B C relativa ao lado A B mede h=|A B wed>= A C||A B|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no triângulo ABC, a altura h relativa ao lado AB pode ser escrita em função de vetores como
h ;=;|ABwed>=AC||AB|
O que vamos usar é a interpretação geométrica do produto vetorial (ou produto “wedge”) como área de paralelogramo e a fórmula da área de um triângulo em termos de base e altura.

Passo 2

Lembrando que, para dois vetores u e v em R^3, o módulo do produto vetorial uwed>=v é a área do paralelogramo determinado por u e v. No nosso caso, tomando
u = AB, v = AC,
temos
Área do para<=logramo ABCA = |ABwed>=AC| Á

Passo 3

Como o triângulo ABC é exatamente metade desse paralelogramo, sua área é
Área(ABC) ;=;12,|ABwed>=AC| Á

Passo 4

Por outro lado, pela fórmula usual da área de um triângulo em função da base AB e da altura h correspondente, também temos
Área(ABC) ;=;12,|AB|;cdot;h Á

Passo 5

Bastaria então igualar as duas expressões para a área de ABC:
12,|ABwed>=AC| ;=; 12,|AB|;h
e, cancelando o fator tfrac12 e isolando h, obtemos
h ;=;|ABwed>=AC||AB|

Resposta

h ;=;|ABwed>=AC||AB|

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