Assumindo x1 in R e x2 in R, verificar se as seguintes funções são definidas ou semidefinidas: positivas, negativas ou indefinidas.
V(x)=x1 x2+x2^2.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
Vcolon R^2 to R, V(x1,x2)=x1x2 + x2^2,
e pede para classificar essa forma quadrática como definida positiva, semidefinida positiva, definida negativa, semidefinida negativa ou indefinida. Vamos usar a teoria de formas quadráticas e o critério de Sylvester para resolver.

Passo 2

Escrevemos V como forma quadrática
V(x)=x^TQx,
onde x=(x1,x2)^T e a matriz simétrica Q satisfaz
x1x2 + x2^2 = x1 & x2 0 & tfrac12[6pt] tfrac12 & 1 x1[3pt]x2 ]

Passo 3

Pelo critério de Sylvester, avaliamos os menores principais de Q:
D1 = detl(0r) = 0, D2 = det0 & tfrac12[3pt]tfrac12 & 1 =0cdot1 - tfrac12cdottfrac12 = -tfrac14 <0
Como D2<0, a forma quadrática não é nem positiva nem negativa, e portanto é indefinida.]

Passo 4

Para ilustrar, basta encontrar vetores que deem valores de sinais opostos:
V(1,1)=1cdot1 + 1^2 = 2 >0,
V(1,-1)=1cdot(-1) + (-1)^2 = -1 + 1=0,
V(-1,2)=(-1)cdot2 + 2^2 = -2 + 4=2>0,
V(1,-2)=1cdot(-2) + (-2)^2 = -2 + 4=2>0,
V(2,-1)=2cdot(-1) + (-1)^2 = -2 + 1=-1<0
Assim, V atinge valores positivos e negativos, confirmando que é indefinida.

Resposta

A forma quadrática V(x1,x2)=x1x2+x2^2 é indefinida.

Exercícios relacionados