Seja o sistema não linear descrito pela seguinte equação de estados:
em que
. Pede-se:
a) Achar o estado de equilíbrio
(pontos de equilíbrio) do sistema.
b) Escolha um estado de equilíbrio de sua preferência e faça uma transformação de coordenadas para novas coordenadas (
) de forma que o novo estado de equilíbrio esteja na origem do novo sistema, ou seja,
.
c) Prove que a função
poderia ser escolhida como uma função candidata de Lyapunov para o sistema do item (b)).
d) Usando a função
definida no item anterior como candidata de Lyapunov para o sistema do item (b), verificar se o sistema é estável.
e) Pelo resultado obtido em (d), podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável?
f) A estabilidade do ponto de equilíbrio é local ou global?
a) Achar o estado de equilíbrio
b) Escolha um estado de equilíbrio de sua preferência e faça uma transformação de coordenadas para novas coordenadas (
c) Prove que a função
d) Usando a função
e) Pelo resultado obtido em (d), podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável?
f) A estabilidade do ponto de equilíbrio é local ou global?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas não lineares e estabilidade usando a função de Lyapunov. Primeiro, o enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que descreve como os estados
e
evoluem ao longo do tempo. O conteúdo envolve encontrar pontos de equilíbrio, transformar coordenadas, escolher uma função de Lyapunov e analisar a estabilidade do sistema. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equilibro de sistemas dinâmicos, transformação de coordenadas, funções de Lyapunov e critérios de estabilidade.
Passo 2
Parte a) Vamos encontrar os pontos de equilíbrio
. Ponto de equilíbrio ocorre quando as derivadas
e
são iguais a zero.
Então, temos:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Primeiro, da segunda equação:
Vamos considerar se
:
Se
, então a primeira equação fica:
Então,
. Portanto, um ponto de equilíbrio é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar se
. A partir da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Fatorando
:
Isso implica
, mas já vimos que isso leva a
. Então, não há outros pontos de equilíbrio além de
.
Passo 5
Resposta da parte a):
O único ponto de equilíbrio do sistema é
.
Passo 6
Parte b) Vamos escolher o ponto de equilíbrio
e fazer uma transformação de coordenadas para que esse ponto fique na origem do novo sistema.
Como nosso ponto de equilíbrio já está na origem, a transformação de coordenadas pode ser trivial:
Portanto, o novo sistema em coordenadas
será o mesmo que o original, com o ponto de equilíbrio em
.
Passo 7
Resposta da parte b):
Após a transformação, as novas coordenadas são
e
, com o ponto de equilíbrio em
.
Passo 8
Parte c) Vamos mostrar que a função
pode ser uma candidata a função de Lyapunov para o sistema transformado.
Uma função de Lyapunov deve ser contínua, diferenciável, positiva definida e sua derivada ao longo das trajetórias do sistema deve ser negativa semidefinida.
Passo 9
Primeiro,
é claramente contínua e diferenciável em todo
. Além disso,
para todo
e
, então é positiva definida.
Agora, vamos calcular a derivada de
ao longo das trajetórias do sistema:
Substituindo
e
pelas equações do sistema:
Passo 10
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam:
Como
, então
.
Passo 11
Portanto,
é negativa definida, o que satisfaz os critérios para uma função de Lyapunov.
Passo 12
Resposta da parte c):
Sim,
é uma função candidata válida de Lyapunov para o sistema.
Passo 13
Parte d) Agora, usando a função
como candidata de Lyapunov, vamos verificar se o sistema é estável.
Sabemos que
é positiva definida e sua derivada
é negativa definida. Segundo o teorema de Lyapunov, isso implica que o ponto de equilíbrio é estável.
Passo 14
Além disso, como
é estritamente negativa fora do ponto de equilíbrio, isso indica que as soluções tendem a se aproximar do ponto de equilíbrio ao longo do tempo.
Passo 15
Resposta da parte d):
Usando
como função de Lyapunov, o sistema é estável.
Passo 16
Parte e) Pelo resultado obtido na parte d), onde
é negativa definida, podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. Isso significa que além de ser estável, as soluções tendem ao ponto de equilíbrio conforme o tempo tende ao infinito.
Passo 17
Resposta da parte e):
Sim, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável.
Passo 18
Parte f) A estabilidade demonstrada através da função de Lyapunov
é global, já que
é definida para todo
e
é negativa definida em todo o espaço. Portanto, a estabilidade é válida para quaisquer condições iniciais.
Passo 19
Resposta da parte f):
A estabilidade do ponto de equilíbrio é global.
Resposta
Resolvemos todas as partes do exercício seguindo os passos detalhados acima.