Seja o sistema não linear descrito pela seguinte equação de estados:
& dotz1=z2-z1(z1^2+z2^2) & dotz2=-z1-z2(z1^2+z2^2)
em que z=(z1, z2). Pede-se:
a) Achar o estado de equilíbrio ze=(z1 e, z2 e) (pontos de equilíbrio) do sistema.
b) Escolha um estado de equilíbrio de sua preferência e faça uma transformação de coordenadas para novas coordenadas ( x1, x2 ) de forma que o novo estado de equilíbrio esteja na origem do novo sistema, ou seja, xe=(0,0).
c) Prove que a função V(x)=x1^2+x2^2 poderia ser escolhida como uma função candidata de Lyapunov para o sistema do item (b)).
d) Usando a função V(x) definida no item anterior como candidata de Lyapunov para o sistema do item (b), verificar se o sistema é estável.
e) Pelo resultado obtido em (d), podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável?
f) A estabilidade do ponto de equilíbrio é local ou global?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre sistemas não lineares e estabilidade usando a função de Lyapunov. Primeiro, o enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais que descreve como os estados z1 e z2 evoluem ao longo do tempo. O conteúdo envolve encontrar pontos de equilíbrio, transformar coordenadas, escolher uma função de Lyapunov e analisar a estabilidade do sistema. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equilibro de sistemas dinâmicos, transformação de coordenadas, funções de Lyapunov e critérios de estabilidade.

Passo 2

Parte a) Vamos encontrar os pontos de equilíbrio ze = (z1e, z2e) . Ponto de equilíbrio ocorre quando as derivadas dotz1 e dotz2 são iguais a zero.
Então, temos:
dotz1 = z2 - z1 (z1^2 + z2^2) = 0 dotz2 = -z1 - z2 (z1^2 + z2^2) = 0
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Primeiro, da segunda equação:
-z1 - z2 (z1^2 + z2^2) = 0 implies z1 + z2 (z1^2 + z2^2) = 0
Vamos considerar se z1 = 0 :
Se z1 = 0 , então a primeira equação fica:
dotz1 = z2 - 0 = z2 = 0
Então, z2 = 0 . Portanto, um ponto de equilíbrio é (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos considerar se z1 neq 0 . A partir da segunda equação:
z1 + z2 (z1^2 + z2^2) = 0 implies z1 = -z2 (z1^2 + z2^2)
Substituindo na primeira equação:
dotz1 = z2 - z1 (z1^2 + z2^2) = z2 - (-z2 (z1^2 + z2^2)) (z1^2 + z2^2) = z2 + z2 (z1^2 + z2^2)^2 = 0
Fatorando z2 :
z2 [1 + (z1^2 + z2^2)^2] = 0
Isso implica z2 = 0 , mas já vimos que isso leva a z1 = 0 . Então, não há outros pontos de equilíbrio além de (0, 0) .

Passo 5

Resposta da parte a):
O único ponto de equilíbrio do sistema é ze = (0, 0) .

Passo 6

Parte b) Vamos escolher o ponto de equilíbrio ze = (0, 0) e fazer uma transformação de coordenadas para que esse ponto fique na origem do novo sistema.
Como nosso ponto de equilíbrio já está na origem, a transformação de coordenadas pode ser trivial:
x1 = z1 x2 = z2
Portanto, o novo sistema em coordenadas x será o mesmo que o original, com o ponto de equilíbrio em (0, 0) .

Passo 7

Resposta da parte b):
Após a transformação, as novas coordenadas são x1 = z1 e x2 = z2 , com o ponto de equilíbrio em xe = (0, 0) .

Passo 8

Parte c) Vamos mostrar que a função V(x) = x1^2 + x2^2 pode ser uma candidata a função de Lyapunov para o sistema transformado.
Uma função de Lyapunov deve ser contínua, diferenciável, positiva definida e sua derivada ao longo das trajetórias do sistema deve ser negativa semidefinida.

Passo 9

Primeiro, V(x) = x1^2 + x2^2 é claramente contínua e diferenciável em todo R^2 . Além disso, V(x) > 0 para todo x neq 0 e V(0) = 0 , então é positiva definida.
Agora, vamos calcular a derivada de V ao longo das trajetórias do sistema:
dotV = partial Vpartial x1 dotx1 + partial Vpartial x2 dotx2 = 2x1 dotx1 + 2x2 dotx2
Substituindo dotx1 e dotx2 pelas equações do sistema:
dotV = 2x1 [x2 - x1 (x1^2 + x2^2)] + 2x2 [-x1 - x2 (x1^2 + x2^2)]

Passo 10

Simplificando:
dotV = 2x1x2 - 2x1^2(x1^2 + x2^2) - 2x1x2 - 2x2^2(x1^2 + x2^2)
Os termos 2x1x2 e -2x1x2 se cancelam:
dotV = -2x1^2(x1^2 + x2^2) - 2x2^2(x1^2 + x2^2) = -2(x1^2 + x2^2)^2
Como (x1^2 + x2^2)^2 >= 0 , então dotV <= 0 .

Passo 11

Portanto, dotV é negativa definida, o que satisfaz os critérios para uma função de Lyapunov.

Passo 12

Resposta da parte c):
Sim, V(x) = x1^2 + x2^2 é uma função candidata válida de Lyapunov para o sistema.

Passo 13

Parte d) Agora, usando a função V(x) como candidata de Lyapunov, vamos verificar se o sistema é estável.
Sabemos que V(x) é positiva definida e sua derivada dotV é negativa definida. Segundo o teorema de Lyapunov, isso implica que o ponto de equilíbrio é estável.

Passo 14

Além disso, como dotV é estritamente negativa fora do ponto de equilíbrio, isso indica que as soluções tendem a se aproximar do ponto de equilíbrio ao longo do tempo.

Passo 15

Resposta da parte d):
Usando V(x) como função de Lyapunov, o sistema é estável.

Passo 16

Parte e) Pelo resultado obtido na parte d), onde dotV é negativa definida, podemos afirmar que o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável. Isso significa que além de ser estável, as soluções tendem ao ponto de equilíbrio conforme o tempo tende ao infinito.

Passo 17

Resposta da parte e):
Sim, o ponto de equilíbrio é assintoticamente estável.

Passo 18

Parte f) A estabilidade demonstrada através da função de Lyapunov V(x) = x1^2 + x2^2 é global, já que V(x) é definida para todo R^2 e dotV é negativa definida em todo o espaço. Portanto, a estabilidade é válida para quaisquer condições iniciais.

Passo 19

Resposta da parte f):
A estabilidade do ponto de equilíbrio é global.

Resposta

Resolvemos todas as partes do exercício seguindo os passos detalhados acima.

Exercícios relacionados