Ache os pontos de equilíbrio, linearize o sistema em torno de cada ponto de equilíbrio através da matriz Jacobiana e determine a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Classifique cada ponto de elquilíbrio quanto a seu tipo: nó, foco, sela ou centro (instável ou instável).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares que você enviou. A gente vai precisar encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os pontos onde as derivadas e são iguais a zero. Depois, vamos linearizar o sistema em torno de cada ponto usando a matriz Jacobiana e determinar se cada ponto é estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de sistematização de sistemas dinâmicos e análise de estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de equilíbrio. Isso significa resolver o sistema quando [\dot{x}_1 = 0) e .
Da segunda equação, temos:
Agora, substituímos (x_{2}] na primeira equação:
Fatorando :
Então, os pontos de equilíbrio são:
Passo 3
Agora, vamos linearizar o sistema em torno de cada ponto de equilíbrio usando a matriz Jacobiana. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções do sistema em relação às variáveis x1 e x2.
Ambos os valores de lambda são negativos, indicando que o ponto (raiz2, -raiz2) é um nó estável.
Passo 6
Para o ponto (- raiz2, raiz2):
Como a matriz Jacobiana depende de x1^2, o cálculo será igual ao do ponto (raiz2, -raiz2):
J = -5 & -1 -1 & -1
Portanto, os valores próprios serão os mesmos:
lambda = -3 pm raiz5
Novamente, ambos os valores são negativos, então (- raiz2, raiz2) também é um nó estável.
Resposta
Os pontos de equilíbrio são (0, 0), (raiz2, -raiz2) e (- raiz2, raiz2). O ponto (0, 0) é um ponto de sela e é instável, enquanto os pontos (raiz2, -raiz2) e (- raiz2, raiz2) são nós estáveis.