Seja o sistema não linear de 2^a ordem dado por
& dotx1=x1-x1^3-x2 ; & dotx2=-x1-x2
Ache os pontos de equilíbrio, linearize o sistema em torno de cada ponto de equilíbrio através da matriz Jacobiana e determine a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Classifique cada ponto de elquilíbrio quanto a seu tipo: nó, foco, sela ou centro (instável ou instável).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares que você enviou. A gente vai precisar encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os pontos onde as derivadas dotx1 e dotx2 são iguais a zero. Depois, vamos linearizar o sistema em torno de cada ponto usando a matriz Jacobiana e determinar se cada ponto é estável ou instável. Para isso, vamos usar conceitos de sistematização de sistemas dinâmicos e análise de estabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de equilíbrio. Isso significa resolver o sistema quando [\dot{x}_1 = 0) e .
Da segunda equação, temos:
Agora, substituímos (x_{2}] na primeira equação:
Fatorando :
Então, os pontos de equilíbrio são:

Passo 3

Agora, vamos linearizar o sistema em torno de cada ponto de equilíbrio usando a matriz Jacobiana. A Jacobiana é uma matriz que contém as derivadas parciais das funções do sistema em relação às variáveis x1 e x2.
Para o sistema dado:
dotx1 = x1 - x1^3 - x2 dotx2 = -x1 - x2
As derivadas parciais são:
partial dotx1partial x1 = 1 - 3x1^2, partial dotx1partial x2 = -1
partial dotx2partial x1 = -1, partial dotx2partial x2 = -1
Então, a matriz Jacobiana é:
J = 1 - 3x1^2 & -1 -1 & -1
Vamos calcular a Jacobiana para cada ponto de equilíbrio.

Passo 4

Para o ponto (0, 0):
Substituindo x1 = 0:
J = 1 - 0 & -1 -1 & -1 = 1 & -1 -1 & -1
Agora, vamos encontrar os valores próprios ( lambda) dessa matriz, resolvendo o determinante det(J - lambda I) = 0:
det 1 - lambda & -1 -1 & -1 - lambda = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (-1)(-1) = 0
Explicando passo a passo:
(1 - lambda)(-1 - lambda) - 1 = lambda^2 - 2 = 0 implies lambda = raiz2, , -raiz2
Como as raízes são reais e de sinais opostos, o ponto (0, 0) é um ponto de sela, ou seja, é instável.

Passo 5

Para o ponto (raiz2, -raiz2):
Substituindo x1 = raiz2:
J = 1 - 3(raiz2)^2 & -1 -1 & -1 = 1 - 6 & -1 -1 & -1 = -5 & -1 -1 & -1
Encontrando os valores próprios:
det -5 - lambda & -1 -1 & -1 - lambda = (-5 - lambda)(-1 - lambda) - 1 = lambda^2 + 6lambda + 4 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -6 pm raiz36 - 162 = -6 pm raiz202 = -6 pm 2raiz52 = -3 pm raiz5
Ambos os valores de lambda são negativos, indicando que o ponto (raiz2, -raiz2) é um nó estável.

Passo 6

Para o ponto (- raiz2, raiz2):
Como a matriz Jacobiana depende de x1^2, o cálculo será igual ao do ponto (raiz2, -raiz2):
J = -5 & -1 -1 & -1
Portanto, os valores próprios serão os mesmos:
lambda = -3 pm raiz5
Novamente, ambos os valores são negativos, então (- raiz2, raiz2) também é um nó estável.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são (0, 0), (raiz2, -raiz2) e (- raiz2, raiz2). O ponto (0, 0) é um ponto de sela e é instável, enquanto os pontos (raiz2, -raiz2) e (- raiz2, raiz2) são nós estáveis.

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