Assunto: Efeito Doppler e Relatividade
O Efeito Doppler é um fenômeno ondulatório que corresponde a um desvio na frequência emitida por uma fonte em seu referencial de repouso e a frequência percebida por um observador em movimento relativo à fonte. Esse efeito ocorre com todos os tipos de onda. Considerando-se as ondas eletromagnéticas, esse efeito é utiizando em radares, para determinar a velocidade de alvos em movimento e também foi utilizado na determinação da taxa de expansão do universo e da constante de Hubble. É um efeito indesejável na construção de fontes de luz monocromáticas, principalmente em lasers gasosos.
O desvio Doppler pode ser determinado a partir do conceito de invariância e transformações de Lorentz. A fase de uma onda plana é um escalar e portanto invariante por uma transformação de coordenadas, o que significa que em dois sistemas de referência inerciais
e
o valor de fase de uma frente de onda, vista em qualquer dos referenciais é a mesma, ou seja:
onde o sinal - refere-se à onda propagante,
à onda contra-propagante em
.
Considere então que uma fonte luminosa situada a uma distância
da origem e em repouso no referencial
, emitindo luz propagando-se no sentido negativo de
, é medida em outro referencial
, que se move com velocidade relativa
para a direita de
. (Suponha que em
as origens desses dois sistemas sejam coincidentes). Note que a fonte de luz aproxima-se de um observador na origem em
que mede a luz chegando até seu detector. Nesse caso a relação entre a frequência angular da luz
medida em
e a frequência
medida em
, bem como entre os comprimentos de onda
e
são dadas pelas seguintes expressões:
(A)
e
(B)
e
©
e
(D)
e
(E)
e
O desvio Doppler pode ser determinado a partir do conceito de invariância e transformações de Lorentz. A fase de uma onda plana é um escalar e portanto invariante por uma transformação de coordenadas, o que significa que em dois sistemas de referência inerciais
Considere então que uma fonte luminosa situada a uma distância
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a relação entre a frequência angular e o comprimento de onda medidos em dois referenciais inerciais S e S′ para uma onda eletromagnética que se propaga no sentido negativo de z. O conteúdo é o efeito Doppler relativístico e vamos precisar da invariância de fase e da transformação de Lorentz para campos escalares (fase de onda).
Passo 2
Para a onda contra-propagante (isto é, que vai no sentido −z) definimos a fase em S como φ₊(z,t)=ω t + k z. Como a fase é escalar, ela também vale em S′: φ₊(z′,t′)=ω′ t′ + k′ z′.
Passo 3
Aplicamos a transformação de Lorentz inversa em S′→S:
[t = γ (t′ + (v/c₀²) z′)
z = γ (z′ + v t′)]
Substituindo em φ₊(z,t)=ω t + k z e comparando com φ₊=ω′ t′ + k′ z′, obtemos
[ω′ = γ (ω + k v)]
[e k′ = γ (k + (ω v/c₀²))]
[t = γ (t′ + (v/c₀²) z′)
z = γ (z′ + v t′)]
Substituindo em φ₊(z,t)=ω t + k z e comparando com φ₊=ω′ t′ + k′ z′, obtemos
[ω′ = γ (ω + k v)]
[e k′ = γ (k + (ω v/c₀²))]
Passo 4
Como em vácuo k = ω/c₀, a expressão de ω′ fica
[ω′ = γ (ω + (ω/c₀) v) = γ ω (1 + v/c₀)]
e a relação entre k′ e ω′ é k′ = ω′/c₀, indicando que a velocidade de fase continua c₀.
[ω′ = γ (ω + (ω/c₀) v) = γ ω (1 + v/c₀)]
e a relação entre k′ e ω′ é k′ = ω′/c₀, indicando que a velocidade de fase continua c₀.
Passo 5
O comprimento de onda em cada referencial é λ = 2π/k, λ′=2π/k′. Logo,
[λ′/λ = k/k′ = k/(γ k (1+v/c₀)) = 1/(γ (1 + v/c₀))]
Por outro lado, usando √-fórmula do efeito Doppler relativístico (f′/f = γ (1+v/c₀)), temos também
[λ′/λ = f/f′ = 1/(γ (1 + v/c₀))]
[λ′/λ = k/k′ = k/(γ k (1+v/c₀)) = 1/(γ (1 + v/c₀))]
Por outro lado, usando √-fórmula do efeito Doppler relativístico (f′/f = γ (1+v/c₀)), temos também
[λ′/λ = f/f′ = 1/(γ (1 + v/c₀))]
Passo 6
O resultado pode ser reescrito como λ′ = γ λ (1 − v/c₀), pois γ (1 − v/c₀) = 1/(γ (1 + v/c₀)).
As expressões finais são portanto
[ω′ = γ ω (1 + v/c₀)]
[λ′ = γ λ (1 − v/c₀)]
As expressões finais são portanto
[ω′ = γ ω (1 + v/c₀)]
[λ′ = γ λ (1 − v/c₀)]
Resposta
ω′=γ ω (1+v/c₀) e λ′=γ λ (1−v/c₀) (alternativa A)