Assunto: Efeito Doppler e Relatividade
O Efeito Doppler é um fenômeno ondulatório que corresponde a um desvio na frequência emitida por uma fonte em seu referencial de repouso e a frequência percebida por um observador em movimento relativo à fonte. Esse efeito ocorre com todos os tipos de onda. Considerando-se as ondas eletromagnéticas, esse efeito é utiizando em radares, para determinar a velocidade de alvos em movimento e também foi utilizado na determinação da taxa de expansão do universo e da constante de Hubble. É um efeito indesejável na construção de fontes de luz monocromáticas, principalmente em lasers gasosos.
O desvio Doppler pode ser determinado a partir do conceito de invariância e transformações de Lorentz. A fase de uma onda plana é um escalar e portanto invariante por uma transformação de coordenadas, o que significa que em dois sistemas de referência inerciais S(z, t) e phi pm(z, t)=omega t pm k z=phi pm(z^prime, t^prime)=omega^prime t^prime pm k^prime z^prime o valor de fase de uma frente de onda, vista em qualquer dos referenciais é a mesma, ou seja:
e+
onde o sinal - refere-se à onda propagante, z à onda contra-propagante em z=z0>0.
Considere então que uma fonte luminosa situada a uma distância S da origem e em repouso no referencial z, emitindo luz propagando-se no sentido negativo de S^prime, é medida em outro referencial v, que se move com velocidade relativa S para a direita de t=t^prime=0. (Suponha que em S^prime as origens desses dois sistemas sejam coincidentes). Note que a fonte de luz aproxima-se de um observador na origem em omega que mede a luz chegando até seu detector. Nesse caso a relação entre a frequência angular da luz S medida em omega^prime e a frequência S^prime medida em lambda, bem como entre os comprimentos de onda lambda^prime e omega^prime=gamma omega são dadas pelas seguintes expressões:
(A) lambda^prime=gamma lambda e
(B) e
© e
(D) e
(E) e

Passo 1

O enunciado pede a relação entre a frequência angular e o comprimento de onda medidos em dois referenciais inerciais S e S′ para uma onda eletromagnética que se propaga no sentido negativo de z. O conteúdo é o efeito Doppler relativístico e vamos precisar da invariância de fase e da transformação de Lorentz para campos escalares (fase de onda).

Passo 2

Para a onda contra-propagante (isto é, que vai no sentido −z) definimos a fase em S como φ₊(z,t)=ω t + k z. Como a fase é escalar, ela também vale em S′: φ₊(z′,t′)=ω′ t′ + k′ z′.

Passo 3

Aplicamos a transformação de Lorentz inversa em S′→S:
[t = γ (t′ + (v/c₀²) z′)
z = γ (z′ + v t′)]
Substituindo em φ₊(z,t)=ω t + k z e comparando com φ₊=ω′ t′ + k′ z′, obtemos
[ω′ = γ (ω + k v)]
[e k′ = γ (k + (ω v/c₀²))]

Passo 4

Como em vácuo k = ω/c₀, a expressão de ω′ fica
[ω′ = γ (ω + (ω/c₀) v) = γ ω (1 + v/c₀)]
e a relação entre k′ e ω′ é k′ = ω′/c₀, indicando que a velocidade de fase continua c₀.

Passo 5

O comprimento de onda em cada referencial é λ = 2π/k, λ′=2π/k′. Logo,
[λ′/λ = k/k′ = k/(γ k (1+v/c₀)) = 1/(γ (1 + v/c₀))]
Por outro lado, usando √-fórmula do efeito Doppler relativístico (f′/f = γ (1+v/c₀)), temos também
[λ′/λ = f/f′ = 1/(γ (1 + v/c₀))]

Passo 6

O resultado pode ser reescrito como λ′ = γ λ (1 − v/c₀), pois γ (1 − v/c₀) = 1/(γ (1 + v/c₀)).
As expressões finais são portanto
[ω′ = γ ω (1 + v/c₀)]
[λ′ = γ λ (1 − v/c₀)]

Resposta

ω′=γ ω (1+v/c₀) e λ′=γ λ (1−v/c₀) (alternativa A)

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