Considere as formas de onda de tensão e corrente na forma real, VR(z, t) e IR(z, t), respectivamente, medidas na entrada de um cabo coaxial carregado na terminação com uma carga ZL, conectada em z=7 lambda / 4. O cabo coaxial tem impedância característica Z0=50 Omega e fator de velocidade de 66,67 % na frequência de operação é f=2,45 GHz, podendo ser considerado sem perdas, por simplicidade. A forma real da tensão e da corrente na entrada da linha z=0 está dada abaixo:
& VR(z, t)=100 cos (omega t)+30 sin (omega t) & IR(z, t)=2,0 cos (omega t)-0,6 sin (omega t) [A]
Dica: converta para a forma complexa. Agora responda às seguintes questões.
7.a) O coeficiente de reflexão da carga vale, na forma de módulo e fase:
(A) GammaL=0.70 e^i pi,
(B) GammaL=0.30 e^-i pi / 2
© GammaL=0.50 e^i pi / 2
(D) GammaL=0.25 e^-i pi / 4
(E) GammaL=0.30 e^i pi / 2
7.b) A impedância ZL medida sobre a carga, e a impedância de entrada Zi n, medida em z=0 nessa linha, valem respectivamente (em ohms):
(A) ZL=44,1-23,5 i, Zi n=44,1+23,5 i
(B) ZL=44,1+23,5 i, Z in =44,1-23,5 i
© ZL=53,2+30,3 i, Zi n=75,1-10,3 i
(D) ZL=30,0-40,0 i, Z in =30,0+40,0 i
(E) ZL=41,7+27,5 i, Z in =41,7-27,5 i
7.c) A potência ativa média consumida pela carga, ou seja, o valor médio sobre um período temporal T do produto desses sinais, ou seja, cc (A) & PL=90,73 e^-i pi / 2 W, (B) & PL=100-25 i W (C) & PL=93,75 W (D) & PL=91,0 W (E) & PL=87,0 W vale:
[

Passo 1

Resumo: Temos um cabo coaxial sem perdas de impedância característica Z₀=50 Ω e fator de velocidade 66,67 % em f=2,45 GHz, carregado em z=7λ/4 por uma carga Z_L. Na entrada (z=0) medimos as formas reais V_R(t)=100 cos(ωt)+30 sin(ωt) e I_R(t)=2,0 cos(ωt)−0,6 sin(ωt). Queremos Γ_L, Z_L, Z_in e P_L. Vamos usar representação fasorial e teoria de linhas sem perdas.

Passo 2

Converter para fasores: escrevemos V_R=Re{Ṽ e^{jωt}} e I_R=Re{Ĩ e^{jωt}}. Montamos A cos+ B sin = C cos(ωt+φ) com C=√(A²+B²) e φ=arctan(−B/A). Para V: A=100, B=30 → C=104,403, φ=−16,699°, logo Ṽ(0)=104,403∠−16,699°. Para I: A=2, B=−0,6 → C=2,088, φ=+16,699°, logo Ĩ(0)=2,088∠16,699°.
Impedância de entrada: Z_in=Ṽ(0)/Ĩ(0)= (104,403/2,088)∠(−16,699°−16,699°)=50∠−33,398° Ω.

Passo 3

Coeficiente de reflexão na entrada: Γ_in=(Z_in−Z₀)/(Z_in+Z₀). Substituindo Z₀=50∠0° e Z_in=50∠−33,398° obtém-se Γ_in≈0,30∠−90°.
Transformação até a carga: Γ_L=Γ_in e^{2jβl} com 2βl=2·(7π/2)=7π→e{j7π}=e{jπ}. Logo Γ_L=0,30∠(−90°+180°)=0,30∠90°.
Impedância da carga: Z_L=Z₀·(1+Γ_L)/(1−Γ_L)=50·(1+j0,3)/(1−j0,3)≈41,7+j27,5 Ω. Entrada medida pelo efeito de quartode-onda ímpar dá Z_in≈Z₀²/Z_L≈41,7−j27,5 Ω.

Passo 4

Potência ativa média: P_L=P(0)=½ Re{Ṽ(0)·Ĩ(0)}. Calculando Ṽ·Ĩ =104,403·2,088∠(−16,699−16,699)=218,0∠−33,398°, tem Re=218·cos 33,398°≈182 W, então P_L=½·182≈91,0 W.

Resposta

7.a) Γ_L=0,30 e^{jπ/2} (=0,30∠90°) (E); 7.b) Z_L=41,7+j27,5 Ω e Z_in=41,7−j27,5 Ω (E); 7.c) P_L=91,0 W (D)

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