Considere as formas de onda de tensão e corrente na forma real,
e
, respectivamente, medidas na entrada de um cabo coaxial carregado na terminação com uma carga
, conectada em
. O cabo coaxial tem impedância característica
e fator de velocidade de
na frequência de operação é
, podendo ser considerado sem perdas, por simplicidade. A forma real da tensão e da corrente na entrada da linha
está dada abaixo:
Dica: converta para a forma complexa. Agora responda às seguintes questões.
7.a) O coeficiente de reflexão da carga vale, na forma de módulo e fase:
(A)
,
(B)
©
(D)
(E)
7.b) A impedância
medida sobre a carga, e a impedância de entrada
, medida em
nessa linha, valem respectivamente (em ohms):
(B)
©
(D)
(E)
7.c) A potência ativa média consumida pela carga, ou seja, o valor médio sobre um período temporal
do produto desses sinais, ou seja,
vale:
[
7.a) O coeficiente de reflexão da carga vale, na forma de módulo e fase:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
7.b) A impedância
©
(D)
(E)
7.c) A potência ativa média consumida pela carga, ou seja, o valor médio sobre um período temporal
Passo 1
Resumo: Temos um cabo coaxial sem perdas de impedância característica Z₀=50 Ω e fator de velocidade 66,67 % em f=2,45 GHz, carregado em z=7λ/4 por uma carga Z_L. Na entrada (z=0) medimos as formas reais V_R(t)=100 cos(ωt)+30 sin(ωt) e I_R(t)=2,0 cos(ωt)−0,6 sin(ωt). Queremos Γ_L, Z_L, Z_in e P_L. Vamos usar representação fasorial e teoria de linhas sem perdas.
Passo 2
Converter para fasores: escrevemos V_R=Re{Ṽ e^{jωt}} e I_R=Re{Ĩ e^{jωt}}. Montamos A cos+ B sin = C cos(ωt+φ) com C=√(A²+B²) e φ=arctan(−B/A). Para V: A=100, B=30 → C=104,403, φ=−16,699°, logo Ṽ(0)=104,403∠−16,699°. Para I: A=2, B=−0,6 → C=2,088, φ=+16,699°, logo Ĩ(0)=2,088∠16,699°.
Impedância de entrada: Z_in=Ṽ(0)/Ĩ(0)= (104,403/2,088)∠(−16,699°−16,699°)=50∠−33,398° Ω.
Impedância de entrada: Z_in=Ṽ(0)/Ĩ(0)= (104,403/2,088)∠(−16,699°−16,699°)=50∠−33,398° Ω.
Passo 3
Coeficiente de reflexão na entrada: Γ_in=(Z_in−Z₀)/(Z_in+Z₀). Substituindo Z₀=50∠0° e Z_in=50∠−33,398° obtém-se Γ_in≈0,30∠−90°.
Transformação até a carga: Γ_L=Γ_in e^{2jβl} com 2βl=2·(7π/2)=7π→e{j7π}=e{jπ}. Logo Γ_L=0,30∠(−90°+180°)=0,30∠90°.
Impedância da carga: Z_L=Z₀·(1+Γ_L)/(1−Γ_L)=50·(1+j0,3)/(1−j0,3)≈41,7+j27,5 Ω. Entrada medida pelo efeito de quartode-onda ímpar dá Z_in≈Z₀²/Z_L≈41,7−j27,5 Ω.
Transformação até a carga: Γ_L=Γ_in e^{2jβl} com 2βl=2·(7π/2)=7π→e{j7π}=e{jπ}. Logo Γ_L=0,30∠(−90°+180°)=0,30∠90°.
Impedância da carga: Z_L=Z₀·(1+Γ_L)/(1−Γ_L)=50·(1+j0,3)/(1−j0,3)≈41,7+j27,5 Ω. Entrada medida pelo efeito de quartode-onda ímpar dá Z_in≈Z₀²/Z_L≈41,7−j27,5 Ω.
Passo 4
Potência ativa média: P_L=P(0)=½ Re{Ṽ(0)·Ĩ(0)}. Calculando Ṽ·Ĩ =104,403·2,088∠(−16,699−16,699)=218,0∠−33,398°, tem Re=218·cos 33,398°≈182 W, então P_L=½·182≈91,0 W.
Resposta
7.a) Γ_L=0,30 e^{jπ/2} (=0,30∠90°) (E); 7.b) Z_L=41,7+j27,5 Ω e Z_in=41,7−j27,5 Ω (E); 7.c) P_L=91,0 W (D)