Um asteroide esférico de raio
está girando com velocidade angular
. À medida que o tempo passa ele atrai mais matéria, até que seu raio torna-se
. Assumindo que sua densidade permanece a mesma e que a matéria adicional estava originalmente em repouso relativo ao asteroide, determine a nova velocidade angular do asteroide. (Você sabe, com base na física elementar, que o momento de inércia de uma esfera maciça em torno de um eixo que passa pelo seu centro é
.) Qual será a velocidade angular final se o raio duplicar?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um asteroide que é uma esfera com raio inicial $ R_0 $ e está girando com uma velocidade angular inicial $ \omega_0 $. Com o tempo, ele vai atraindo mais matéria e aumentando de tamanho até atingir um novo raio $ R $. A densidade do asteroide permanece constante durante esse processo. A pergunta quer saber qual será a nova velocidade angular $ \omega $ do asteroide quando o raio duplicar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento de inércia e a conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como o momento de inércia ($ I $) de uma esfera maciça é calculado. A fórmula é:
Onde:
- $ M $ é a massa da esfera.
- $ R $ é o raio da esfera.
Como a densidade ($ \rho
M_0
R_0
M
R $).
Passo 3
A densidade é dada por:
Como a densidade permanece constante, podemos igualar as densidades inicial e final:
Simplificando, temos:
Isso significa que, se o raio aumenta, a massa aumenta de acordo com o cubo do fator de aumento do raio.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a conservação do momento angular. O momento angular ($ L $) é dado por:
Como não há torque externo agindo no asteroide, o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
Substituindo a fórmula do momento de inércia, temos:
Podemos simplificar $ \frac{2}{5} $ de ambos os lados:
Passo 5
Substituindo a expressão que encontramos para $ M $:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar $ \omega $:
Passo 7
Agora, vamos ver o que acontece quando o raio duplica, ou seja, $ R = 2R_0 $:
Resposta
A nova velocidade angular do asteroide será
quando o raio duplicar.