Um asteroide esférico de raio R0 está girando com velocidade angular omega0. À medida que o tempo passa ele atrai mais matéria, até que seu raio torna-se R. Assumindo que sua densidade permanece a mesma e que a matéria adicional estava originalmente em repouso relativo ao asteroide, determine a nova velocidade angular do asteroide. (Você sabe, com base na física elementar, que o momento de inércia de uma esfera maciça em torno de um eixo que passa pelo seu centro é I=25 M R^2.) Qual será a velocidade angular final se o raio duplicar?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um asteroide que é uma esfera com raio inicial $ R_0 $ e está girando com uma velocidade angular inicial $ \omega_0 $. Com o tempo, ele vai atraindo mais matéria e aumentando de tamanho até atingir um novo raio $ R $. A densidade do asteroide permanece constante durante esse processo. A pergunta quer saber qual será a nova velocidade angular $ \omega $ do asteroide quando o raio duplicar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre momento de inércia e a conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como o momento de inércia ($ I $) de uma esfera maciça é calculado. A fórmula é:
I
Onde:
  • $ M $ é a massa da esfera.
  • $ R $ é o raio da esfera.
Como a densidade ($ \rho I = 25 M R^2 M_0 M R_0 R M rho R $).

Passo 3

A densidade é dada por:
rho = M43pi R^3
Como a densidade permanece constante, podemos igualar as densidades inicial e final:
M043pi R0^3 = M43pi R^3
Simplificando, temos:
M = M0 ( RR0 )^3
Isso significa que, se o raio aumenta, a massa aumenta de acordo com o cubo do fator de aumento do raio.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a conservação do momento angular. O momento angular ($ L $) é dado por:
L
Como não há torque externo agindo no asteroide, o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
L = I omega
Substituindo a fórmula do momento de inércia, temos:
I0 omega0 = I omega
Podemos simplificar $ \frac{2}{5} $ de ambos os lados:
25 M0 R0^2 omega0 = 25 M R^2 omega

Passo 5

Substituindo a expressão que encontramos para $ M $:
M
Simplificando:
M0 R0^2 omega0 = M0 ( RR0 )^3 R^2 omega
R0^2 omega0 = ( RR0 )^3 R^2 omega

Passo 6

Vamos isolar $ \omega $:
omega
omega = R0^2 omega0R^5 / R0^3

Passo 7

Agora, vamos ver o que acontece quando o raio duplica, ou seja, $ R = 2R_0 $:
R = 2R0
omega = omega0 ( R02R0 )^5
omega = omega0 ( 12 )^5

Resposta

A nova velocidade angular do asteroide será omega032 quando o raio duplicar.

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