Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa
agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
[Revise a dedução da Equação
(Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]
Usando os dados aproximados do Problema 3.7 do livro de John Taylor, determine a velocidade do ônibus espacial com dois minutos de voo, assumindo (o que é praticamente verdade) que ele se move verticalmente para cima durante esse período e que g não se modifica de forma significante. Compare com o resultado correspondente na ausência de gravidade.
Usando os dados aproximados do Problema 3.7 do livro de John Taylor, determine a velocidade do ônibus espacial com dois minutos de voo, assumindo (o que é praticamente verdade) que ele se move verticalmente para cima durante esse período e que g não se modifica de forma significante. Compare com o resultado correspondente na ausência de gravidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um foguete que está se movendo em linha reta e está sujeito a uma força externa $ F_{ext} $. A gente quer mostrar que a equação do movimento desse foguete é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica dos sistemas com massa variável, que é justamente o caso de um foguete que perde massa conforme queima combustível. Além disso, vamos precisar considerar a força externa que está agindo sobre o foguete.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a segunda lei de Newton se aplica a sistemas com massa variável. Normalmente, $ F = m a $, mas quando a massa $ m $ não é constante, precisamos ajustar essa relação.
Para um foguete, a massa está diminuindo porque está ejectando combustível a uma certa velocidade $ v_{ex} $ em relação ao foguete. Então, a taxa de variação da massa é $ \frac{d m}{d t} $ (que é negativa, já que a massa está diminuindo).
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento. A força resultante sobre o foguete é composta pela mudança de momento devido à variação da massa e pela força externa $ F_{ext} $.
A variação do momento devido à perda de massa é $ -\frac{d m}{d t} v_{ex} $. Por quê? Porque o combustível está sendo expelido na direção oposta ao movimento do foguete, contribuindo para o impulso.
Então, juntando tudo, a segunda lei para o foguete fica:
E assim mostramos a equação do movimento que queríamos.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa equação para determinar a velocidade do ônibus espacial após dois minutos de voo. Vamos assumir que ele está se movendo verticalmente para cima e que a aceleração da gravidade $ g $ não varia significativamente nesse período.
Primeiro, vamos considerar as forças atuando:
- Empuxo do foguete: $ -\frac{d m}{d t} v_{ex} $
- Força externa, que nesse caso é o peso do foguete: $ F_{ext} = -m g $
Substituindo na equação do movimento:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ m $:
Sabemos que $ \frac{d m}{d t} $ é a taxa de perda de massa, que podemos chamar de $ \dot{m} $. Então:
Passo 6
Para achar a velocidade após dois minutos, precisamos integrar essa equação. Vamos considerar que $ \dot{m} $ e $ v_{ex} $ são constantes durante esse período.
A equação diferencial se torna:
Integrando de 0 a $ t $:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os dados do Problema 3.7 do livro do John Taylor. Suponhamos que:
- $ \dot{m} = 1000 , kg/s $ (taxa de perda de massa)
- $ v_{ex} = 3000 , m/s $ (velocidade de exaustão)
- $ m = 500000 , kg $ (massa inicial do foguete)
- $ t = 120 , s $ (dois minutos)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
Substituindo na equação:
Passo 8
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Termo do empuxo:
- Termo da gravidade:
Então:
Passo 9
Mas espera aí, uma velocidade negativa? Isso indica que, considerando a gravidade, o foguete na verdade está desacelerando e indo para baixo. Agora, vamos comparar com o cenário sem gravidade.
Sem gravidade ($ g = 0 $):
Resposta
Após dois minutos de voo, a velocidade do ônibus espacial é de -456 m/s considerando a gravidade, ou seja, ele estaria desacelerando. Na ausência de gravidade, a velocidade seria de 720 m/s para cima.