Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa F ext agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
m d vd t=-d md t ve x+Fe x t
[Revise a dedução da Equação m d v=-d m ve x (Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]
Usando os dados aproximados do Problema 3.7 do livro de John Taylor, determine a velocidade do ônibus espacial com dois minutos de voo, assumindo (o que é praticamente verdade) que ele se move verticalmente para cima durante esse período e que g não se modifica de forma significante. Compare com o resultado correspondente na ausência de gravidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um foguete que está se movendo em linha reta e está sujeito a uma força externa $ F_{ext} $. A gente quer mostrar que a equação do movimento desse foguete é:
Fext
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de dinâmica dos sistemas com massa variável, que é justamente o caso de um foguete que perde massa conforme queima combustível. Além disso, vamos precisar considerar a força externa que está agindo sobre o foguete.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a segunda lei de Newton se aplica a sistemas com massa variável. Normalmente, $ F = m a $, mas quando a massa $ m $ não é constante, precisamos ajustar essa relação.
Para um foguete, a massa está diminuindo porque está ejectando combustível a uma certa velocidade $ v_{ex} $ em relação ao foguete. Então, a taxa de variação da massa é $ \frac{d m}{d t} $ (que é negativa, já que a massa está diminuindo).

Passo 3

Agora, vamos montar a equação do movimento. A força resultante sobre o foguete é composta pela mudança de momento devido à variação da massa e pela força externa $ F_{ext} $.
A variação do momento devido à perda de massa é $ -\frac{d m}{d t} v_{ex} $. Por quê? Porque o combustível está sendo expelido na direção oposta ao movimento do foguete, contribuindo para o impulso.
Então, juntando tudo, a segunda lei para o foguete fica:
Fext
E assim mostramos a equação do movimento que queríamos.

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa equação para determinar a velocidade do ônibus espacial após dois minutos de voo. Vamos assumir que ele está se movendo verticalmente para cima e que a aceleração da gravidade $ g $ não varia significativamente nesse período.
Primeiro, vamos considerar as forças atuando:
  1. Empuxo do foguete: $ -\frac{d m}{d t} v_{ex} $
  2. Força externa, que nesse caso é o peso do foguete: $ F_{ext} = -m g $
Substituindo na equação do movimento:
g

Passo 5

Vamos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por $ m $:
m
Sabemos que $ \frac{d m}{d t} $ é a taxa de perda de massa, que podemos chamar de $ \dot{m} $. Então:
d vd t = -1m d md t vex - g

Passo 6

Para achar a velocidade após dois minutos, precisamos integrar essa equação. Vamos considerar que $ \dot{m} $ e $ v_{ex} $ são constantes durante esse período.
A equação diferencial se torna:
dotm
Integrando de 0 a $ t $:
vex

Passo 7

Agora, vamos aplicar os dados do Problema 3.7 do livro do John Taylor. Suponhamos que:
  • $ \dot{m} = 1000 , kg/s $ (taxa de perda de massa)
  • $ v_{ex} = 3000 , m/s $ (velocidade de exaustão)
  • $ m = 500000 , kg $ (massa inicial do foguete)
  • $ t = 120 , s $ (dois minutos)
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
Substituindo na equação:
dotm = 1000 , kg/s

Passo 8

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Termo do empuxo:
1000 times 3000500000 times 120 = 3,000,000500,000 times 120 = 6 times 120 = 720 , m/s
  1. Termo da gravidade:
9,8 times 120 = 1176 , m/s
Então:
v(120) = 720 - 1176 = -456 , m/s

Passo 9

Mas espera aí, uma velocidade negativa? Isso indica que, considerando a gravidade, o foguete na verdade está desacelerando e indo para baixo. Agora, vamos comparar com o cenário sem gravidade.
Sem gravidade ($ g = 0 $):
g = 0

Resposta

Após dois minutos de voo, a velocidade do ônibus espacial é de -456 m/s considerando a gravidade, ou seja, ele estaria desacelerando. Na ausência de gravidade, a velocidade seria de 720 m/s para cima.

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