Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa
agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
[Revise a dedução da Equação
(Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar a equação do movimento de um foguete que está se movendo em linha reta, levando em conta uma força externa
. Isso está dentro da matéria de Mecânica Clássica, especificamente sobre o movimento de sistemas de massa variável. Para resolver, vamos precisar entender como a massa do foguete muda e como isso afeta sua velocidade quando há forças externas atuando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração:
. No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está perdendo massa conforme queima combustível.
Passo 3
Como a massa do foguete está mudando com o tempo, precisamos usar uma versão modificada da segunda lei de Newton para sistemas de massa variável. A equação geral fica:
onde
é a massa e
é a velocidade.
Passo 4
Vamos expandir a derivada usando a regra do produto:
Isso mostra que a força resultante é composta pela massa vezes a aceleração mais a velocidade vezes a taxa de variação da massa.
Passo 5
No caso do foguete, a força resultante
é a soma da força externa
e da força devido à ejeção de massa (que é uma força interna). Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar a aceleração:
Passo 7
Considerando que a velocidade com que a massa é ejetada do foguete é
(velocidade do exausto), substituímos
por
na equação, ficando:
Resposta
Então, a equação do movimento do foguete é: