Considere um foguete movendo-se em uma linha reta sujeito a uma força externa F ext agindo ao longo da mesma reta. Mostre que a equação do movimento é
m d vd t=-d md t ve x+Fe x t
[Revise a dedução da Equação m d v=-d m ve x (Eq. 3.6 do livro do Taylor), mas mantenha o termo da força externa.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar a equação do movimento de um foguete que está se movendo em linha reta, levando em conta uma força externa Fext. Isso está dentro da matéria de Mecânica Clássica, especificamente sobre o movimento de sistemas de massa variável. Para resolver, vamos precisar entender como a massa do foguete muda e como isso afeta sua velocidade quando há forças externas atuando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele vezes a aceleração: F = m cdot a. No caso do foguete, a massa não é constante porque ele está perdendo massa conforme queima combustível.

Passo 3

Como a massa do foguete está mudando com o tempo, precisamos usar uma versão modificada da segunda lei de Newton para sistemas de massa variável. A equação geral fica: Fresu onde m é a massa e v é a velocidade.

Passo 4

Vamos expandir a derivada usando a regra do produto: ddt(m cdot v) = m d vd t + v d md t Isso mostra que a força resultante é composta pela massa vezes a aceleração mais a velocidade vezes a taxa de variação da massa.

Passo 5

No caso do foguete, a força resultante Fresu é a soma da força externa Fext e da força devido à ejeção de massa (que é uma força interna). Então, temos: m d vd t + v d md t = Fext

Passo 6

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar a aceleração: m d vd t = Fext - v d md t

Passo 7

Considerando que a velocidade com que a massa é ejetada do foguete é vex (velocidade do exausto), substituímos v por vex na equação, ficando: m d vd t = Fext - vex d md t

Resposta

Então, a equação do movimento do foguete é:
m d vd t=-d md t vex+Fext

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