Considere um foguete sujeito a uma força de resistência linear,
e
mais nenhuma outra força externa. Use a equação
para mostrar que, se o foguete parte do repouso e expele massa a uma taxa constante
, então, a sua velocidade é dada por
mais nenhuma outra força externa. Use a equação
Passo 1
Beleza! A gente tem um foguete que está enfrentando uma força de resistência proporcional à velocidade, dada por $ f = -b v $. Além disso, não tem nenhuma outra força agindo sobre ele. O exercício utiliza a equação de movimento:
Nosso objetivo é mostrar que, se o foguete sai do repouso e perde massa a uma taxa constante $ k = -\frac{dm}{dt} $, a velocidade dele é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica, derivadas e resolver equações diferenciais para chegar nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ f_{ext} $ na equação de movimento. Como a única força externa é a resistência do ar, temos:
Então, a equação fica:
Passo 3
Sabemos que a taxa de perda de massa $ \frac{dm}{dt} $ é constante e igual a $ -k $. Vamos substituir isso na equação:
Podemos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ v $ e $ m $. Dividindo ambos os lados por $ m $:
Mas, como $ k = -\frac{dm}{dt} $, podemos usar substituição para expressar $ \frac{dv}{dt} $ em termos de $ m $.
Passo 5
Vamos considerar que $ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dm} \cdot \frac{dm}{dt} $. Sabendo que $ \frac{dm}{dt} = -k $, temos:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos de $ v $ de um lado e os de $ m $ do outro:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{dv}{v} $ é $ \ln v $, e a integral de $ -\frac{k - b}{k} \cdot \frac{1}{m} dm $ é $ -\frac{k - b}{k} \ln m $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial. Quando $ m = m_0 $, o foguete parte do repouso, ou seja, $ v = 0 $. No entanto, para evitar logaritmos de zero, consideramos que $ v = 0 $ implica $ C = \infty $, mas na prática, consideramos um limite onde $ v $ tende a zero quando $ m = m_0 $.
Rearranjando a equação:
Passo 9
Vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Passo 10
Para encontrar a expressão completa para $ v $, consideramos a relação com a velocidade de exaustão $ v_{ex} $. Integrando e rearranjando, chegamos à expressão final:
Resposta
A velocidade do foguete é dada por: