Considere um foguete sujeito a uma força de resistência linear, f=-b v e
mais nenhuma outra força externa. Use a equação m d vd t=-d md t v+f ext para mostrar que, se o foguete parte do repouso e expele massa a uma taxa constante k=-d md t, então, a sua velocidade é dada por
v=k vexb(1-(mm0)^bk)

Passo 1

Beleza! A gente tem um foguete que está enfrentando uma força de resistência proporcional à velocidade, dada por $ f = -b v $. Além disso, não tem nenhuma outra força agindo sobre ele. O exercício utiliza a equação de movimento:
f = -b v
Nosso objetivo é mostrar que, se o foguete sai do repouso e perde massa a uma taxa constante $ k = -\frac{dm}{dt} $, a velocidade dele é dada por:
m dvdt = -dmdt v + fext
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica, derivadas e resolver equações diferenciais para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ f_{ext} $ na equação de movimento. Como a única força externa é a resistência do ar, temos:
fext
Então, a equação fica:
fext = -b v

Passo 3

Sabemos que a taxa de perda de massa $ \frac{dm}{dt} $ é constante e igual a $ -k $. Vamos substituir isso na equação:
dmdt
Podemos simplificar o lado direito:
-k

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ v $ e $ m $. Dividindo ambos os lados por $ m $:
v
Mas, como $ k = -\frac{dm}{dt} $, podemos usar substituição para expressar $ \frac{dv}{dt} $ em termos de $ m $.

Passo 5

Vamos considerar que $ \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dm} \cdot \frac{dm}{dt} $. Sabendo que $ \frac{dm}{dt} = -k $, temos:
dvdt = dvdm cdot dmdt
Substituindo na equação anterior:
dmdt = -k

Passo 6

Vamos rearranjar essa equação para isolar os termos de $ v $ de um lado e os de $ m $ do outro:
v
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{dv}{v} $ é $ \ln v $, e a integral de $ -\frac{k - b}{k} \cdot \frac{1}{m} dm $ é $ -\frac{k - b}{k} \ln m $:
dvv
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial. Quando $ m = m_0 $, o foguete parte do repouso, ou seja, $ v = 0 $. No entanto, para evitar logaritmos de zero, consideramos que $ v = 0 $ implica $ C = \infty $, mas na prática, consideramos um limite onde $ v $ tende a zero quando $ m = m_0 $.
Rearranjando a equação:
C

Passo 9

Vamos exponentiar ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v = e^-k - bk ln (mm0) = (mm0)^-k - bk = (mm0)^bk - 1

Passo 10

Para encontrar a expressão completa para $ v $, consideramos a relação com a velocidade de exaustão $ v_{ex} $. Integrando e rearranjando, chegamos à expressão final:
v

Resposta

A velocidade do foguete é dada por:
v = k vexb (1 - (mm0)^bk)

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