Considere uma arma com massa
(quando descarregada), que atira uma bala de massa
com velocidade de disparo
. (Isto é, a velocidade da bala relativa à arma é v.) Assumindo que a arma está completamente livre para recuar (nenhuma força externa sobre a arma ou sobre a bala), use a conservação do momento para mostrar que a velocidade da bala relativa ao solo é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma arma com massa $ M $ (quando descarregada) que dispara uma bala de massa $ m $ com velocidade de disparo $ v $ em relação à arma. Nosso objetivo é usar a conservação do momento para mostrar que a velocidade da bala em relação ao solo é $ \frac{v}{1+\frac{m}{M}} $. Para isso, vamos precisar entender como o momento é conservado quando não há forças externas agindo no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento. O momento ($ p
m
v $):
Como não há forças externas, o momento total do sistema (arma + bala) antes e depois do disparo deve ser o mesmo.
Passo 3
Antes do disparo, tanto a arma quanto a bala estão paradas em relação ao solo. Então, o momento total inicial é zero:
Passo 4
Após o disparo, a bala ganha uma velocidade em relação à arma. Vamos chamar a velocidade da bala em relação ao solo de $ v_b $ e a velocidade da arma após o disparo de $ v_a $. Como a bala e a arma se movem em direções opostas, consideramos uma direção positiva para a bala e negativa para a arma.
Passo 5
Aplicando a conservação do momento:
Passo 6
Agora, vamos relacionar a velocidade da bala em relação ao solo ($ v_b
v $). A velocidade da bala em relação ao solo é a soma da velocidade da bala em relação à arma e da velocidade da arma em relação ao solo:
Substituindo $ v_a $ da equação anterior:
Passo 7
Vamos isolar $ v_b $:
Ops! Percebi que houve um erro de sinal. Como a bala e a arma se movem em direções opostas, a velocidade da bala em relação ao solo deve ser menor que $ v $. Vamos corrigir:
Voltando à equação correta:
Sabemos que $ v_a = -\frac{m}{M} v_b $ (o sinal negativo indica que a arma se move na direção oposta)
Resposta
A velocidade da bala em relação ao solo é $ \displaystyle \frac{v}{1 + \frac{m}{M}} $.