Considere uma arma com massa M (quando descarregada), que atira uma bala de massa m com velocidade de disparo v. (Isto é, a velocidade da bala relativa à arma é v.) Assumindo que a arma está completamente livre para recuar (nenhuma força externa sobre a arma ou sobre a bala), use a conservação do momento para mostrar que a velocidade da bala relativa ao solo é:
v1+mM

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma arma com massa $ M $ (quando descarregada) que dispara uma bala de massa $ m $ com velocidade de disparo $ v $ em relação à arma. Nosso objetivo é usar a conservação do momento para mostrar que a velocidade da bala em relação ao solo é $ \frac{v}{1+\frac{m}{M}} $. Para isso, vamos precisar entender como o momento é conservado quando não há forças externas agindo no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento. O momento ($ p p éçã m m v $):
v
Como não há forças externas, o momento total do sistema (arma + bala) antes e depois do disparo deve ser o mesmo.

Passo 3

Antes do disparo, tanto a arma quanto a bala estão paradas em relação ao solo. Então, o momento total inicial é zero:
pinicial = 0

Passo 4

Após o disparo, a bala ganha uma velocidade em relação à arma. Vamos chamar a velocidade da bala em relação ao solo de $ v_b $ e a velocidade da arma após o disparo de $ v_a $. Como a bala e a arma se movem em direções opostas, consideramos uma direção positiva para a bala e negativa para a arma.

Passo 5

Aplicando a conservação do momento:
pinicial = pfinal
0 = m times vb + M times (-va)
0 = m vb - M va
m vb = M va
va = mM vb

Passo 6

Agora, vamos relacionar a velocidade da bala em relação ao solo ($ v_b vb çãà v $). A velocidade da bala em relação ao solo é a soma da velocidade da bala em relação à arma e da velocidade da arma em relação ao solo:
v
Substituindo $ v_a $ da equação anterior:
vb = v + va

Passo 7

Vamos isolar $ v_b $:
vb
vb - mM vb = v
vb (1 - mM) = v
Ops! Percebi que houve um erro de sinal. Como a bala e a arma se movem em direções opostas, a velocidade da bala em relação ao solo deve ser menor que $ v $. Vamos corrigir:
Voltando à equação correta:
vb = v1 - mM
Sabemos que $ v_a = -\frac{m}{M} v_b $ (o sinal negativo indica que a arma se move na direção oposta)
v
vb = v + va
va = -mM vb
vb = v - mM vb

Resposta

A velocidade da bala em relação ao solo é $ \displaystyle \frac{v}{1 + \frac{m}{M}} $.

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