Verdadeiro ou Falso: Uma curva
pode ter várias representações vetoriais (quando
é o parâmetro). De fato, a circunferência centrada na origem e de raio 1 pode ser representada pelas duas equações paramétricas abaixo:
(i)
e
, caso
e
(ii)
e
, caso
.
(i)
e
(ii)
Passo 1
O enunciado está falando sobre parametrizações de uma mesma curva e dá o exemplo da circunferência de raio 1 centrada na origem. O conteúdo aqui é “parametrização de curvas” e vamos usar a ideia de que, se duas funções vetoriais têm imagem igual e percorrem essa imagem sem “buracos”, elas representam a mesma curva.
Passo 2
Considere a parametrização
Para todo
nesse intervalo,
, logo o ponto
está na circunferência de raio 1. À medida que
vai de
a
, o ponto dá uma volta completa no sentido anti-horário, sem se repetir até o final do intervalo.
Passo 3
Agora considere
Se definirmos
, então
varia de
a
. Assim
com
, que é exatamente a mesma volta da circunferência no mesmo sentido e sem buracos.
Passo 4
Como
e
têm a mesma imagem (a circunferência de raio 1) e cada ponto é atingido uma única vez no respectivo intervalo, elas são duas parametrizações distintas da mesma curva.
Resposta
Verdadeiro.