Verdadeiro ou Falso: Uma curva \mathcal{C} pode ter várias representações vetoriais (quando t é o parâmetro). De fato, a circunferência centrada na origem e de raio 1 pode ser representada pelas duas equações paramétricas abaixo:
(i) x=\cos (t) e y=\operatorname{sen}(t), caso t \in[0,2 \pi]
e
(ii) x=\cos (2 t) e y=\operatorname{sen}(2 t), caso t \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado está falando sobre parametrizações de uma mesma curva e dá o exemplo da circunferência de raio 1 centrada na origem. O conteúdo aqui é “parametrização de curvas” e vamos usar a ideia de que, se duas funções vetoriais têm imagem igual e percorrem essa imagem sem “buracos”, elas representam a mesma curva.

Passo 2

Considere a parametrização
\mathbf r_1(t) = (\cos t,\,\sin t), \quad t\in[0,2\pi].
Para todo t nesse intervalo, \cos^2t+\sin^2t=1, logo o ponto \mathbf r_1(t) está na circunferência de raio 1. À medida que t vai de 0 a 2\pi, o ponto dá uma volta completa no sentido anti-horário, sem se repetir até o final do intervalo.

Passo 3

Agora considere
\mathbf r_2(t) = (\cos(2t),\,\sin(2t)), \quad t\in[0,\pi].
Se definirmos u=2t, então u varia de 0 a 2\pi. Assim
\mathbf r_2(t)= (\cos u,\,\sin u)
com u\in[0,2\pi], que é exatamente a mesma volta da circunferência no mesmo sentido e sem buracos.

Passo 4

Como \mathbf r_1 e \mathbf r_2 têm a mesma imagem (a circunferência de raio 1) e cada ponto é atingido uma única vez no respectivo intervalo, elas são duas parametrizações distintas da mesma curva.

Resposta

Verdadeiro.

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