Uma das grandes questões em Mecânica Celeste é saber o comportamento, a longo prazo, do nosso sistema solar. Por exemplo, existe a possibilidade de que em algum instante futuro, algum planeta “caia” no sol ou escape do sistema solar? Nesta direção, o problema mais famoso e mais estudado é o Problema dos três corpos, do qual ainda restam muitas questões sem respostas, mesmo do ponto de vista puramente teórico.
Suponha que dois corpos do sistema solar tenham trajetórias
Q_{1}(s)=\left(s^{2}, 7 s-12, s^{2}\right) \text { e } Q_{2}(s)=\left(4 s-3, s^{2}, 5 s-6\right)
onde s é medida em milhões de anos. Se s<0 representa o passado e s>0 representa o futuro, o que podemos afirmar sobre a possibilidade de colisão destes dois corpos?

Passo 1

O enunciado nos dá as trajetórias de dois corpos no sistema solar parametrizadas pelo mesmo parâmetro s (em milhões de anos):
Q_{1}(s) = \bigl(s^{2},\,7s-12,\,s^{2}\bigr),\quad Q_{2}(s) = \bigl(4s-3,\,s^{2},\,5s-6\bigr).
Queremos saber se existe algum instante s tal que Q_{1}(s)=Q_{2}(s), ou seja, resolver colisão futura ou passada. Para isso, precisamos igualar componente a componente e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Escrevemos as três equações obtidas de Q_{1}(s)=Q_{2}(s):
\begin{cases} s^{2} = 4s - 3,\\\\ 7s - 12 = s^{2},\\\ s^{2} = 5s - 6. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo a primeira equação
s^{2} = 4s - 3 \quad\Longrightarrow\quad s^{2} - 4s + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (s-1)(s-3) = 0
Logo,
s = 1 \quad\text{ou}\quad s = 3.

Passo 4

Resolvendo a segunda equação
7s - 12 = s^{2} \quad\Longrightarrow\quad s^{2} - 7s + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (s-3)(s-4) = 0
Logo,
s = 3 \quad\text{ou}\quad s = 4.

Passo 5

Resolvendo a terceira equação
s^{2} = 5s - 6 \quad\Longrightarrow\quad s^{2} - 5s + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (s-2)(s-3) = 0
Logo,
s = 2 \quad\text{ou}\quad s = 3.

Passo 6

O único valor de s que satisfaz todas as três equações simultaneamente é
s = 3.
Como s=3>0, trata-se de uma colisão que ocorrerá no futuro (em 3 milhões de anos). O ponto de colisão é
Q_{1}(3)=Q_{2}(3)=(9,\,9,\,9).

Resposta

Os corpos colidem no instante s=3 milhões de anos, no ponto (9,9,9).

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