Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=1 / x, y=0, x=1, x=4 em torno de eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região do plano limitada por
,y=tfrac1x,,;y=0,,;x=1 e x=4.
O conteúdo é o método dos discos (ou dos anéis), em que cada seção perpendicular ao eixo x gera um disco de raio igual à ordem da função y.

Passo 2

Em uma posição genérica x (com 1<= x<=4), a região gira e forma um disco de raio
R(x)=y=1x
e espessura dx. Pelo método dos discos, o volume elemento é
dV = pil[R(x)r]^2,dx = pi1x^2,dx

Passo 3

Agora basta integrar dV de x=1 até x=4:
V = integral1^4 dV = piintegral1^41x^2,dx
Como integral x^-2dx = -x^-1, temos
V = pil[-tfrac1xr]1^4 = pil(-tfrac14+1r) = 3pi4

Resposta

3pi4

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