Dada a equação do plano
, estude e esboce os gráficos quando:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral do plano
e pede que apliquemos os valores
,
,
,
. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos no espaço e vamos precisar interpretar a equação resultante, estudar sua orientação e esboçar seu gráfico.
Passo 2
Substituindo
,
,
e
na equação geral, obtemos
que simplifica para
Passo 3
Dividindo por
, chegamos à forma mais simples
ou, isolando
,
Note que
não aparece na equação, ou seja,
é livre. Isso indica que o plano é paralelo ao eixo
.
Passo 4
Interceptos e interseções com planos coordenados:
- Com o eixo
(quando e ): da equação vem , logo . Só temos o ponto . - Com o eixo
(quando e ): também , só o ponto . - Com o plano
(quando ): dá e livre, ou seja, a reta -eixo. - Com o plano
(quando ): fica , uma reta no plano passando pela origem com inclinação . - Com o plano
(quando ): dá e livre, de novo a reta -eixo.
Passo 5
Uma representação paramétrica natural é tomar dois parâmetros
Isso mostra que o plano é o subespaço gerado pelos vetores , passando pela origem.
Passo 6
Esboço do plano em um sistema de eixos
:
- Desenhe o eixo
para frente e para trás, pois o plano é paralelo a ele. - No plano vertical
, marque a reta que passa pela origem e liga a . - A partir dessa reta, trace linhas paralelas ao eixo
. O conjunto dessas linhas é o plano procurado.
Resposta
A equação do plano é
ou seja, um plano que passa pela origem e é paralelo ao eixo
, inclinado no plano
com coeficiente angular
.