Dada a equação do plano a x+b y+c z+d=0, estude e esboce os gráficos quando: a=0, b=4, c=2, d=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral do plano
a,x + b,y + c,z + d = 0
e pede que apliquemos os valores a=0, b=4, c=2, d=0. O conteúdo aqui é geometria analítica de planos no espaço e vamos precisar interpretar a equação resultante, estudar sua orientação e esboçar seu gráfico.

Passo 2

Substituindo a=0, b=4, c=2 e d=0 na equação geral, obtemos
0cdot x + 4,y + 2,z + 0 = 0
que simplifica para
4,y + 2,z = 0

Passo 3

Dividindo por 2, chegamos à forma mais simples
2,y + z = 0
ou, isolando z,
z = -2,y
Note que x não aparece na equação, ou seja, x é livre. Isso indica que o plano é paralelo ao eixo x.

Passo 4

Interceptos e interseções com planos coordenados:
  • Com o eixo y (quando z=0 e x=0): da equação z=-2y vem 0=-2y, logo y=0. Só temos o ponto (0,0,0).
  • Com o eixo z (quando y=0 e x=0): também z=0, só o ponto (0,0,0).
  • Com o plano xy (quando z=0): dá y=0 e x livre, ou seja, a reta x-eixo.
  • Com o plano yz (quando x=0): fica z=-2y, uma reta no plano yz passando pela origem com inclinação -2.
  • Com o plano xz (quando y=0): dá z=0 e x livre, de novo a reta x-eixo.

Passo 5

Uma representação paramétrica natural é tomar dois parâmetros
Isso mostra que o plano é o subespaço gerado pelos vetores , passando pela origem.

Passo 6

Esboço do plano em um sistema de eixos x,y,z:
  1. Desenhe o eixo x para frente e para trás, pois o plano é paralelo a ele.
  2. No plano vertical yz, marque a reta que passa pela origem e liga (0,1, -2) a (0,0,0).
  3. A partir dessa reta, trace linhas paralelas ao eixo x. O conjunto dessas linhas é o plano procurado.

Resposta

A equação do plano é
z = -2,y,
ou seja, um plano que passa pela origem e é paralelo ao eixo x, inclinado no plano yz com coeficiente angular -2.

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