A astronauta Aline se encontra em repouso em um referencial inercial quando, às 08 h 00 de seu relógio, o astronauta Beto passa por ela viajando com velocidade constante 0,80 c. Coincidentemente, o relógio de Beto também marca 08h00. As 09h00 em seu relógio, Beto chega ao seu destino. De acordo com Aline, o comprimento do percurso de Beto foi de
1,4 \times 10^{9} \mathrm{~km}
8,5 \times 10^{8} \mathrm{~km}
1,0 \times 10^{9} \mathrm{~km}
9,2 \times 10^{8} \mathrm{~km}
Não há dados suficientes para responder a pergunta.

Passo 1

Resumo do enunciado: Aline está em um referencial inercial e vê Beto passando com velocidade constante v=0,8c. Os relógios coincidem em 08h00. No relógio de Beto decorre o intervalo próprio \Delta\tau=1 h (de 08h00 a 09h00). Pergunta-se qual é, segundo Aline, o comprimento do percurso de Beto. Vamos usar o conceito de dilatação temporal e a relação L=v\,\Delta t no referencial de Aline.

Passo 2

Calculamos o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-(0,8c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0,64}} = \frac{1}{\sqrt{0,36}} = \frac{5}{3}.

Passo 3

Aplicamos a dilatação do tempo para achar o intervalo \Delta t medido por Aline:
\Delta t = \gamma\,\Delta\tau = \frac{5}{3}\times (1\;\mathrm{h}) = \frac{5}{3}\times3600\;\mathrm{s} =6000\;\mathrm{s} \;\approx1{,}67\;\mathrm{h}.

Passo 4

Calculamos a distância percorrida segundo Aline:
L = v\,\Delta t = 0,8c \times6000\;\mathrm{s} =0,8\times3\times10^{8}\,\mathrm{m/s}\times6000\;\mathrm{s} =1,44\times10^{12}\;\mathrm{m} =1,44\times10^{9}\;\mathrm{km}.
Arredondando, L\approx1,4\times10^{9} km.

Resposta

1,4\times10^{9} km

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