Para um observador no referencial S, duas bombas nas posições x=-a e x=+a no eixo x explodem no mesmo instante. Um observador S^{\prime}, por sua vez, move-se ao longo do eixo x de S com velocidade constante v na direção de x crescente. Indique a alternativa correta sobre as seguintes observações de S^{\prime} :
I. O intervalo de tempo entre as explosões depende da posição de S^{\prime}.
II. A distância entre as bombas é 2 a / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}, onde c é a velocidade da luz.
III. A bomba em x=+a explode antes da bomba em x=-a.
Apenas a afirmação III está correta.
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
Apenas a afirmação I está correta.
Apenas a afirmação II está correta.
As afirmações I e II estão corretas.

Passo 1

O enunciado diz que, no referencial S, duas bombas localizadas em x=-a e x=+a explodem simultaneamente (ou seja, \Delta t=0 e \Delta x=2a). O referencial S' desloca-se em relação a S com velocidade v na direção +x. Para analisar intervalo de tempo, ordem dos eventos e distância entre as bombas em S', vamos usar a transformação de Lorentz e o fenômeno de contração de Lorentz.

Passo 2

A transformação de Lorentz para o intervalo de tempo entre dois eventos é
\Delta t' \;=\;\gamma\bigl(\Delta t - \tfrac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr),
onde \gamma = \tfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. Substituindo \Delta t=0 e \Delta x=x_{+a}-x_{-a}=2a, vem
\Delta t' \;=\;\gamma\bigl(0 - \tfrac{v\,(2a)}{c^2}\bigr) = -\,\gamma\,\frac{2a\,v}{c^2}.

Passo 3

Como \gamma>0 e v>0, temos \Delta t'<0. Isso significa que, em S', o evento da bomba em x=+a t'_+ ocorre antes do evento da bomba em x=-a t'_-, ou seja, a bomba de x=+a explode antes daquela de x=-a. Note que esse resultado não depende da posição particular do observador em S', apenas de v e a.

Passo 4

Para a distância entre as bombas em S', aplicamos a contração de Lorentz sobre o segmento que em S vale 2a. Em S':
\Delta x' \;=\;\frac{\Delta x}{\gamma} =2a\,\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}.
Logo, não vale 2a/\sqrt{1-v^2/c^2}, mas sim 2a\sqrt{1-v^2/c^2}.

Passo 5

Verificando as afirmações:
I. “O intervalo de tempo entre as explosões depende da posição de S'.”
Falso, \Delta t'=-\gamma\,2a\,v/c^2 independe da posição espacial do observador em S'.
II. “A distância entre as bombas é 2a/\sqrt{1-v^2/c^2}.”
Falso, a contração de Lorentz dá \Delta x'=2a\sqrt{1-v^2/c^2}.
III. “A bomba em x=+a explode antes da bomba em x=-a.”
Verdadeiro, pois \Delta t'<0 indica que o evento em +a vem antes.

Resposta

Apenas a afirmação III está correta.

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