No referencial S, a partícula A está em repouso, enquanto a partícula
B se move com velocidade ( 3 c / 5,0,0 ). No referencial S^{\prime}, que se move com velocidade ( u, 0,0 ) em relação ao referencial S, as partículas têm velocidades de mesma magnitude e direção, mas sentidos opostos. A velocidade relativa entre os referenciais é dada por
\begin{aligned} u & =c / 3 \\\ u & =-c / 3 \\\ u & =c \\\ u & =3 c / 10 \\\ u & =-3 c / 10 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade relativa u entre os referenciais S e S' de modo que, em S, temos as partículas A e B com velocidades
\displaystyle v_A=0
\displaystyle v_B=\tfrac{3c}{5}
e em S' elas tenham velocidades de mesma magnitude e direções opostas.

Passo 2

Na relatividade restrita, a transformação de velocidades ao passar de S para S' (movendo-se S' com velocidade u em relação a S ao longo de x) é
v'=\frac{v - u}{1 - \frac{u\,v}{c^2}}.

Passo 3

Aplicando em A ( v_A=0):
v'_A=\frac{0 - u}{1 - 0} = -u.
Em B ( v_B=\tfrac{3c}{5}):
v'_B=\frac{\frac{3c}{5}-u}{1 - \frac{u\,\frac{3c}{5}}{c^2}} =\frac{\frac{3c}{5}-u}{1 - \frac{3u}{5c}}.

Passo 4

Impondo que v'_B e v'_A tenham mesma magnitude e sentidos opostos, temos
v'_B = -\,v'_A \quad\Longrightarrow\quad \frac{\frac{3c}{5}-u}{1 - \frac{3u}{5c}} = u.

Passo 5

Resolver a equação:
\frac{3c/5 - u}{1 - \frac{3u}{5c}} = u \;\Longrightarrow\; 3c/5 - u = u\Bigl(1 - \tfrac{3u}{5c}\Bigr) \;\Longrightarrow\; 3c/5 - 2u + \frac{3u^2}{5c}=0.
Multiplicando por 5c:
3c^2 - 10uc + 3u^2 = 0,
cuja solução é
u = \frac{10c \pm \sqrt{100c^2 - 36c^2}}{6} = \frac{10c \pm 8c}{6} \;\Longrightarrow\; u = 3c \quad\text{ou}\quad u = \frac{c}{3}.
Como nenhuma velocidade relativa pode exceder c, descartamos u=3c.

Resposta

\displaystyle u = \frac{c}{3}

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