Uma nave se move com velocidade 3 c / 5 em relação a um eixo x fixo à Terra. Quando a nave passa por x=0, a leitura de um cronômetro na nave marca zero. Qual a leitura do cronômetro quando a nave estiver em x=18000 \mathrm{~km} ?
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Passo 1

O enunciado diz que a nave se move com velocidade \tfrac{3c}{5} em relação à Terra ao longo do eixo x e que seu cronômetro marca zero em x=0. Queremos a leitura do cronômetro da nave (tempo próprio \tau) quando ela atingir x=18000\text{ km} no referencial terrestre.

Passo 2

No referencial da Terra, o tempo de viagem t até x=18000\text{ km} é dado por
t = \frac{x}{v}
onde x = 18000\text{ km} = 1{,}8\times10^{7}\text{ m} e v = \tfrac{3c}{5} = 0{,}6\,c = 0{,}6\cdot3\times10^{8}\text{ m/s} = 1{,}8\times10^{8}\text{ m/s}.
Logo,
t = \frac{1{,}8\times10^{7}}{1{,}8\times10^{8}}\text{ s} = 0{,}1\text{ s} = 100\text{ ms}.

Passo 3

O fator de Lorentz é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \tfrac{9}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{16}{25}}} = \frac{5}{4} = 1{,}25.

Passo 4

O tempo próprio \tau medido pela nave está dilatado conforme
\tau = \frac{t}{\gamma} = \frac{0{,}1\text{ s}}{1{,}25} = 0{,}08\text{ s} = 80\text{ ms}.

Resposta

80 ms

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