Uma lente de vidro crown delgada e biconvexa tem faces com raios de curvatura de 10 cm . Quando se encontra no ar, forma-se uma imagem com luz amarela a uma distância de 20 cm dessa lente. Atendendo que os índices de refração para a luz azul e vermelha são n_{A}=1,501 e n_{V}=1,509, respectivamente, calcule a extensão da aberração cromática axial correspondente a estes comprimentos de onda. (Obs: sendo \frac{d n(\lambda)}{d \lambda} \approx \Delta n=n_{V}-n_{A} e |\Delta q|=\left|\frac{d q(\lambda)}{d \lambda}\right| a extensão da ACA, proveniente da diferenciação da equação da lente delgada em relação ao comprimento de onda \lambda )

Passo 1

O enunciado descreve uma lente delgada biconvexa de vidro crown com raios de curvatura R=10,cm. Em ar, ela forma uma imagem usando luz amarela a uma distância q_{A}=20,cm. Os índices de refração para luz violeta e amarela são n_{V}=1,509 e n_{A}=1,501, logo \Delta n=n_{V}-n_{A}=0,008. Queremos calcular a aberração cromática axial, isto é, a diferença entre as distâncias focais para esses comprimentos de onda, usando a diferenciação da equação da lente delgada em relação ao índice de refração, mantendo fixa a posição do objeto.

Passo 2

A equação da lente delgada para um objeto a distância fixa p é
\frac{1}{p} + \frac{1}{q(\lambda)} \;=\;\frac{2\bigl(n(\lambda)-1\bigr)}{R}\,.
Como p não depende de \lambda, derivamos em relação a \lambda:
0 \;-\;\frac{1}{q^{2}}\;\frac{dq}{d\lambda} \;=\;\frac{2}{R}\;\frac{dn}{d\lambda}\,.
Isolando \frac{dq}{d\lambda} e tomando módulo, obtemos
\lvert \Delta q\rvert \approx \biggl\lvert\frac{dq}{d\lambda}\biggr\rvert \,\Delta\lambda \approx \frac{2\,q^{2}}{R}\,\lvert \Delta n\rvert.

Passo 3

Substituindo q=q_{A}=20,cm, R=10,cm e \lvert \Delta n\rvert=0,008:
\lvert \Delta q\rvert = \frac{2\cdot(20)^{2}}{10}\cdot0,008 = \frac{2\cdot400}{10}\cdot0,008 = 80\cdot0,008 = 0,64\text{ cm}.

Resposta

A aberração cromática axial entre as imagens para luz violeta e amarela é de aproximadamente 0,64 cm (6,4 mm).

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